Câu hỏi:

13/07/2024 6,133

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh rằng CD = AC + BD, \(\widehat {COD} = 90^\circ \)

b) AC.BD = R²

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn, đường kính CD

d) AD cắt BC tại N, MN cắt AB tại K. Chứng minh rằng: MN // AC

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia (ảnh 1)

a) Do CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau nên CA = CM

Do DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DM = DB

Suy ra CD = CM + MD = CA + DB (đpcm)

Ta có \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

và \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \frac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = 90^\circ \) (đpcm)

b) ΔCOD vuông tại O có đường cao OM

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

OM² = CM.MD Þ R² = CA.DB (đpcm)

c) Gọi I là trung điểm của CD thì OI là đường trung bình của hình thang ACDB

Þ IO // AC // BD

Þ IO ^ AB mà OI = IC = ID

Vậy I là tâm đường tròn đường kính CD

Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn (I; IC).

d) Do Ax và By là hai tiếp tuyến của (O)

Nên Ax // By (vì cùng ^ AB)

Hay AC // DB

Theo định lý Ta-let ta có:

\(\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{{AC}}{{BD}}\)

Mà AC = CM và BD = DM Þ \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)

\( \Rightarrow \frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)

Hay \(\frac{{NA + ND}}{{ND}} = \frac{{CM + DM}}{{DM}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{ND}} = \frac{{CD}}{{DM}} \Leftrightarrow \frac{{ND}}{{AD}} = \frac{{DM}}{{CD}}\)

Þ MN // AC (định lý Ta-let) (đpcm).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

Trần Ngọc Thiên Trang
05:45 - 20/04/2025

cho nửa đường tròn (O,R) đường kính AB gọi Ax By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn Ax By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa AB từ điểm M trên nửa đường tròn m khác a m khác b Vẽ tiếp tuyến nửa đường tròn . Xét tứ giác ACMO nội tiếp

0
Trả lời

Xem thêm ...

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.

a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AD.AC = DH.AB

c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác (ảnh 1)

a) Ta có :

DI vuông CD (gt) Þ \(\widehat {IDC} = 90^\circ \)

CK vuông KI (gt) Þ \(\widehat {IKC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {IDC} = \widehat {IKC} = 90^\circ \)

Mà 2 góc này ở 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CI

Suy ra CDIK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:

\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ góc \(\widehat {KCB}\))

Xét ∆HCD và ∆ABC có:

\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cmt )

\(\widehat {HDC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \)

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HCD (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{AC}}{{HD}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ )

Mà BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gt)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{HD}}\)

Suy ra AD.AC = DH.AB (đpcm)

c) Gọi giao điểm của BN với AD là F'.

Ta có: AC là tiếp tuyến của (I;ID) nên \(\widehat {CDM} = \widehat {CBD} = \widehat {ABD}\)

\( \Rightarrow \widehat {MDB} = \widehat {CDB} - \widehat {CDM} = \widehat {CDB} - \widehat {ABD} = \widehat {CAB}\)

Mà \(\widehat {MDB} = \widehat {MNB} = \widehat {ANF'} \Rightarrow \widehat {ANF'} = \widehat {CAB}\)

Từ đó ∆F'AN ᔕ ∆F'BA (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{F'A}}{{F'N}} = \frac{{F'B}}{{F'A}} \Rightarrow F'{A^2} = F'B\,.\,F'N\)

Mặt khác, vì F'D là tiếp tuyến của (I, ID) nên F'D² = F'B.F'N

Þ F'A = F'D Þ F' ≡ F.

Từ đó ta có đpcm.

Câu 2

Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Số cách sắp xếp học sinh ba khối 10, 11 và 12 là: 3!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 12 là: 4!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 11 là: 5!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 10 là: 6!;

Vậy số cách sắp xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đại biểu là: 3!.4!.5!.6!

Câu 3