Câu hỏi:
13/07/2024 1,845Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD, \(\widehat {COD} = 90^\circ \)
b) AC.BD = R2
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn, đường kính CD
d) AD cắt BC tại N, MN cắt AB tại K. Chứng minh rằng: MN // AC
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Do CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau nên CA = CM
Do DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DM = DB
Suy ra CD = CM + MD = CA + DB (đpcm)
Ta có \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
và \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \frac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = 90^\circ \) (đpcm)
b) ΔCOD vuông tại O có đường cao OM
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
OM2 = CM.MD Þ R2 = CA.DB (đpcm)
c) Gọi I là trung điểm của CD thì OI là đường trung bình của hình thang ACDB
Þ IO // AC // BD
Þ IO ^ AB mà OI = IC = ID
Vậy I là tâm đường tròn đường kính CD
Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn (I; IC).
d) Do Ax và By là hai tiếp tuyến của (O)
Nên Ax // By (vì cùng ^ AB)
Hay AC // DB
Theo định lý Ta-let ta có:
\(\frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{{AC}}{{BD}}\)
Mà AC = CM và BD = DM Þ \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)
\( \Rightarrow \frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)
Hay \(\frac{{NA + ND}}{{ND}} = \frac{{CM + DM}}{{DM}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{ND}} = \frac{{CD}}{{DM}} \Leftrightarrow \frac{{ND}}{{AD}} = \frac{{DM}}{{CD}}\)
Þ MN // AC (định lý Ta-let) (đpcm).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác trong BD (K Î AB, D Î AC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh CDKI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AC = DH.AB
c) Gọi F là trung điểm AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M (M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Câu 2:
Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.
Câu 3:
Chứng minh rằng:
a) \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\).Câu 4:
Cho đường thẳng (d) có phương trình y = (3m – 2)x + m – 2 (với m là tham số)
a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2). Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được
b) Đường thẳng (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Tìm m để diện tích ∆OAB bằng \(\frac{1}{2}\).
Câu 5:
Cho tam giác ∆ABC chứng minh rằng:
a) \(\sin \left( {\frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}} \right) = \cos \frac{{\widehat C}}{2}\);
b) \(\tan \left( {2\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right) = \tan \widehat A\);
c) \(\sin \left( {\frac{{\widehat A + \widehat B + 3\widehat C}}{2}} \right) = \cos \widehat C\).
Câu 6:
Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với:
a) A = [1 ; 4], B = (2; 6), C = (1; 2);
b) A = [ 0; 4], B = (1; 5), C = (–3; 1];
c) A = ( –5; 1], B = [3; +∞), C = ( –∞; – 2).
Câu 7:
Chứng minh: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \)
về câu hỏi!