Câu hỏi:
13/07/2024 7,745
Cho ∆ABC cân tại A. H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD.
Cho ∆ABC cân tại A. H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC nên AH ^ BC.
Ta có: \(\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {HD} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {BH} } \right)\) (Do AH ^ BC và HD ^ AC)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right)\overrightarrow {BH} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {BH} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {BH} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {BH} \) (Do AH ^ BC)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {BH} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right)\) (Do M là trung điểm của BC)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {AC} = 0\)
Vậy AM vuông góc với BD
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có :
DI vuông CD (gt) Þ \(\widehat {IDC} = 90^\circ \)
CK vuông KI (gt) Þ \(\widehat {IKC} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {IDC} = \widehat {IKC} = 90^\circ \)
Mà 2 góc này ở 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CI
Suy ra CDIK là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có:
\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ góc \(\widehat {KCB}\))
Xét ∆HCD và ∆ABC có:
\(\widehat {HCD} = \widehat {ABC}\) (cmt )
\(\widehat {HDC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \)
Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HCD (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{AC}}{{HD}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ )
Mà BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gt)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{HD}}\)
Suy ra AD.AC = DH.AB (đpcm)
c) Gọi giao điểm của BN với AD là F'.
Ta có: AC là tiếp tuyến của (I;ID) nên \(\widehat {CDM} = \widehat {CBD} = \widehat {ABD}\)
\( \Rightarrow \widehat {MDB} = \widehat {CDB} - \widehat {CDM} = \widehat {CDB} - \widehat {ABD} = \widehat {CAB}\)
Mà \(\widehat {MDB} = \widehat {MNB} = \widehat {ANF'} \Rightarrow \widehat {ANF'} = \widehat {CAB}\)
Từ đó ∆F'AN ᔕ ∆F'BA (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{F'A}}{{F'N}} = \frac{{F'B}}{{F'A}} \Rightarrow F'{A^2} = F'B\,.\,F'N\)
Mặt khác, vì F'D là tiếp tuyến của (I, ID) nên F'D2 = F'B.F'N
Þ F'A = F'D Þ F' ≡ F.
Từ đó ta có đpcm.
Lời giải
Số cách sắp xếp học sinh ba khối 10, 11 và 12 là: 3!;
Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 12 là: 4!;
Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 11 là: 5!;
Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 10 là: 6!;
Vậy số cách sắp xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đại biểu là: 3!.4!.5!.6!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo