Cho ∆ABC có \(\widehat A = 75^\circ ,AB = 10cm\). Tỉ lượng \(\frac{{\widehat B}}{{\widehat C}} = \frac{4}{3}\). Tính CA, CB, \({S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải:

Đặt B = \(\widehat B\), C = \(\widehat C\).

Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) hay B + C = 105°.

Theo đề bài ta có: \(\frac{B}{C} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{B}{4} = \frac{C}{3} = \frac{{B + C}}{{4 + 3}} = \frac{{105^\circ }}{7} = 15^\circ \).

\(\frac{B}{4} = 15 \Rightarrow \widehat B = 60^\circ ;\frac{C}{3} = 15 \Rightarrow \widehat C = 45^\circ \).

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC.  

Ta có: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = \sin B.AB \Rightarrow AH = \sin 60^\circ .10 = 5\sqrt 3 cm\)

\(\cos B = \frac{{HB}}{{AB}} \Rightarrow HB = \cos B.AB \Rightarrow HB = \cos 60^\circ .10 = 5cm\)

\(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\sin 45^\circ }} = 5\sqrt 6 cm\)

\(\cos C = \frac{{HC}}{{AC}} \Rightarrow HC = \cos C.AC \Rightarrow HC = \cos 45^\circ .5\sqrt 6 = 5\sqrt 3 cm\)

Ta lại có: BC = HB + HC = \(5 + 5\sqrt 3 \approx 14cm\).

Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \approx \frac{1}{2}.5\sqrt 3 .14 = 35\sqrt 3 \) (cm²).