Câu hỏi:
12/07/2024 8,274
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì BK là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AKB} = 90^\circ \)
Suy ra tam giác AKI vuông tại K
Do đó K thuộc đường tròn đường kính AI
b) Gọi O là trung điểm của AI
Vì OA = OK nên tam giác OAK cân tại O
Suy ra \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\)
Vì tam giác BCK vuông ở K nên \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Vì tam giác ACH vuông ở H nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {HAC}\)
Mà \(\widehat {OAK} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\widehat {KBC} = \widehat {OK{\rm{A}}}\) (1)
Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao
Nên AH là đường trung tuyến
Hay H là trung điểm của BC
Xét tam giác BCK vuông ở K có KH là trung tuyến
Suy ra BH = HK
Do đó tam giác BHK cân tại H
Suy ra \(\widehat {BHK} = \widehat {BKH}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AKO} = \widehat {BKH}\)
Mà \(\widehat {AKO} + \widehat {OKB} = \widehat {AKB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BKO} + \widehat {BKH} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {HOK} = 90^\circ \)
Xét (O) có OH ⊥ HK
Suy ra HK là tiếp tuyến của (O)
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.
b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).
c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).
d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính SDENM.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.
b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).
c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).
d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính SDENM.
Xem đáp án »
12/07/2024
22,060
Câu 2:
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a) Chứng minh OH . OM không đổi.
b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a) Chứng minh OH . OM không đổi.
b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Xem đáp án »
12/07/2024
16,230
Câu 3:
Cho hình bình hành ABCD. Hai đầu M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm các tổng:
a) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {NC} \).
b) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \).
Cho hình bình hành ABCD. Hai đầu M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm các tổng:
a) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {NC} \).
b) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \).
Xem đáp án »
12/07/2024
14,128
Câu 4:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) MC2 = 3R2.
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) MC2 = 3R2.
Xem đáp án »
12/07/2024
12,695
Câu 5:
Cho đường thẳng d1: y = 3mx – m2 và d2: y = 3x + m – 2. Tìm m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Xem đáp án »
12/07/2024
11,813
Câu 6:
Cho hàm số y = 2x + 3 có đồ thị là đường thẳng (d). Vẽ đồ thị của hàm số đã cho. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục tọa độ.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,404
về câu hỏi!