Câu hỏi:

12/07/2024 23,150

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) MC2 = 3R2.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

Ta có BM = R

OA = OB = R

B nằm giữa M và O (vì M thuộc tia đối của tia BA)

Suy ra B là trung điểm của OM

Vì tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB

Nên tam giác ABC vuông tại C

Suy ra \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

\(\widehat {CAB} = 30^\circ \), nên \(\widehat {CBA} = 60^\circ \)

Lại có tam giác OBC cân tại O (vì OB = OC)

Suy ra tam giác OBC đều. Do đó OB = CB, \(\widehat {COB} = 60^\circ \)

Mà OB = BM, suy ra \[{\rm{OB }} = BM = CM = \frac{1}{2}OM\]

Xét tam giác OCM có

\[{\rm{OB }} = BM = CM = \frac{1}{2}OM\]

CM là trung tuyến

Suy ra tam giác OCM vuông tại C

Do đó CO CM

Xét (O) có CO CM (chứng minh trên)

MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Xét tam giác OCM vuông ở C có \(\widehat {COM} + \widehat {CMO} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

\(\widehat {COM} = 60^\circ \), nên \(\widehat {CMO} = 30^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CMO} = \widehat {CAM}\left( { = 30^\circ } \right)\)

Xét DMCB và DMAC có

\(\widehat {CMO} = \widehat {CAM}\) (chứng minh trên)

\(\widehat M\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{MB}}{{MC}}\)

Suy ra MC2 = MA . MB = (OA + OB + BM) . MB = 3R . R = 3R2.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.

b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).

c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).

d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính SDENM.

Xem đáp án » 12/07/2024 36,734

Câu 2:

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Xem đáp án » 12/07/2024 23,989

Câu 3:

Cho hình bình hành ABCD. Hai đầu M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm các tổng:

a) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {NC} \).

b) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \).

Xem đáp án » 12/07/2024 21,337

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.

a) Chứng minh OH . OM không đổi.

b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xem đáp án » 12/07/2024 21,312

Câu 5:

Cho đường thẳng d1: y = 3mx – m2 và d2: y = 3x + m – 2. Tìm m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Xem đáp án » 12/07/2024 16,035

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 4; 1); B(2; 4); C(2; 2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

Xem đáp án » 15/05/2023 14,965
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua