Câu hỏi:
15/05/2023 3,326Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) MC2 = 3R2.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Ta có BM = R
OA = OB = R
B nằm giữa M và O (vì M thuộc tia đối của tia BA)
Suy ra B là trung điểm của OM
Vì tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB
Nên tam giác ABC vuông tại C
Suy ra \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {CAB} = 30^\circ \), nên \(\widehat {CBA} = 60^\circ \)
Lại có tam giác OBC cân tại O (vì OB = OC)
Suy ra tam giác OBC đều. Do đó OB = CB, \(\widehat {COB} = 60^\circ \)
Mà OB = BM, suy ra \[{\rm{OB }} = BM = CM = \frac{1}{2}OM\]
Xét tam giác OCM có
\[{\rm{OB }} = BM = CM = \frac{1}{2}OM\]
CM là trung tuyến
Suy ra tam giác OCM vuông tại C
Do đó CO ⊥ CM
Xét (O) có CO ⊥ CM (chứng minh trên)
MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Xét tam giác OCM vuông ở C có \(\widehat {COM} + \widehat {CMO} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {COM} = 60^\circ \), nên \(\widehat {CMO} = 30^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CMO} = \widehat {CAM}\left( { = 30^\circ } \right)\)
Xét DMCB và DMAC có
\(\widehat {CMO} = \widehat {CAM}\) (chứng minh trên)
\(\widehat M\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{MB}}{{MC}}\)
Suy ra MC2 = MA . MB = (OA + OB + BM) . MB = 3R . R = 3R2.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a) Chứng minh OH . OM không đổi.
b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Câu 2:
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.
b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).
c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).
d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính SDENM.
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD. Hai đầu M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm các tổng:
a) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {NC} \).
b) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \).
Câu 5:
Câu 6:
Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 2m – 5 (d1).
a) Tính giá trị của m để đường thẳng (d1) song song với đường thẳng y = 3x + 1 (d2).
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
về câu hỏi!