Câu hỏi:
12/07/2024 15,742Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a) Chứng minh OH . OM không đổi.
b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA ⊥ OA
Xét tam giác AMO vuông tại A có AH ⊥ OM
Suy ra OH . OM = OA2 = R2
Vì R không đổi nên OH . OM không đổi.
b) Vì OC = OD nên ΔOCD cân tại O
Mà OI là đường trung tuyến, nên OI ⊥ CD
Xét tứ giác OIAM có
\(\widehat {OIM} = \widehat {OAM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
Nên OIAM là tứ giác nội tiếp
Vậy bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.
c) Xét ΔOHK và ΔOIM có
\(\widehat {OHK} = \widehat {OIM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat {HOK}\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OK}}{{OM}}\)
Suy ra OI . OK = OH . OM = R2 = OC2
Do đó \(\frac{{OC}}{{OK}} = \frac{{OI}}{{OC}}\)
Xét ΔOCK và ΔOIC có
\(\frac{{OC}}{{OK}} = \frac{{OI}}{{OC}}\)
\(\widehat O\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\widehat {OCK} = \widehat {OIC} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)
Hay OC ⊥ OK
Suy ra KC là tiếp tuyến của (O).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh AD . AB = AE . AC.
b) Chứng minh \(\frac{{BH}}{{HC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2}\).
c) Cho BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính DE và \(\widehat {A{\rm{D}}E}\) (làm tròn đến độ).
d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH. Tính SDENM.
Câu 2:
Câu 3:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho \(\widehat {CAB} = 30^\circ \). Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) MC2 = 3R2.
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD. Hai đầu M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm các tổng:
a) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {NC} \).
b) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} \).
Câu 5:
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Câu 6:
về câu hỏi!