Câu hỏi:

12/07/2024 3,566

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đoạn OB lấy điểm H sao cho HB = 2HO. Đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nửa (O) tại D. Vẽ đường tròn (S) đường kính AO cắt AD tại C.

a) Chứng minh C là trung điểm của AD.

b) Chứng minh 4 điểm C, D, H, O cùng thuộc một đường tròn.

c) CB cắt DO tại E. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (S).

d) Tính diện tích tam giác AEB theo R.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì tam giác ACO nội tiếp (S) đường kính AO nên tam giác ACO vuông tại C

Suy ra AC ⊥ CO

Xét (O) có AD là dây cung, AD ⊥ CO

Suy ra C là trung điểm của AD.

b) Xét tứ giác COHD có: $\widehat {DCO} + \widehat {DHO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Þ tứ giác COHD nội tiếp

Vậy 4 điểm C, D, H, O cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta có BH = 2HO, BH + HO = BO = R

$\Rightarrow BH = \frac{2}{3}R,OH = \frac{1}{3}R$

Ta có $AH = AB - BH = 2{\rm{R}} - \frac{2}{3}R = \frac{4}{3}R$

Þ AH = 2HB

Vì tam giác ABD nội tiếp (O) đường kính AB nên tam giác ABD vuông tại D

Mà BH ⊥ AB

Þ AD² = AH . AB và BD² = BH . AB

Þ AH = 2HB

Þ AD² = 2BD²

$\Rightarrow B{{\rm{D}}^2} = \frac{{A{{\rm{D}}^2}}}{2} = \frac{{A{\rm{D}}.2C{\rm{D}}}}{2} = A{\rm{D}}.C{\rm{D}}$

$\Rightarrow \frac{{B{\rm{D}}}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{C{\rm{D}}}}{{B{\rm{D}}}}$

Xét tam giác DBC và tam giác DAB có

$\frac{{B{\rm{D}}}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{C{\rm{D}}}}{{B{\rm{D}}}}$ (chứng minh trên);

$\widehat {A{\rm{D}}B}$ là góc chung

(c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {{\rm{D}}BC} = \widehat {DAB}$ (hai góc tương ứng)

Ta có CO ⊥ AD, BD ⊥ AD

Nên CO // BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat {{\rm{D}}BC} = \widehat {BCO}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat {{\rm{D}}BC} = \widehat {DAB}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat {{\rm{DA}}B} = \widehat {BCO}$

Vì SC = SO nên tam giác SCO cân tại S $\Rightarrow \widehat {SCO} = \widehat {SOC}$

Vì tam giác ACO vuông tại C nên

$\widehat {CAO} + \widehat {COA} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà $\widehat {SCO} = \widehat {SOC}$ , $\widehat {{\rm{DA}}B} = \widehat {BCO}$

$\Rightarrow \widehat {BCO} + \widehat {SCO} = 90^\circ$ , hay $\widehat {BC{\rm{S}}} = 90^\circ$

Do đó SC ⊥ CB

Xét (S) có SC ⊥ CB

Suy ra BC là tiếp tuyến của (S).

d) Xét tam giác SCO có $\widehat {SCO} + \widehat {SOC} + \widehat {C{\rm{S}}O} = 180^\circ$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Mà $\widehat {SCO} = \widehat {SOC}$

$\Rightarrow \widehat {C{\rm{S}}O} = 180^\circ - 2\widehat {SOC}$ (1)

Vì OB = OD nên tam giác OBD cân tại O

$\Rightarrow \widehat {BDO} = \widehat {OB{\rm{D}}}$

Xét tam giác BDO có $\widehat {B{\rm{D}}O} + \widehat {BOD} + \widehat {OB{\rm{D}}} = 180^\circ$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Mà $\widehat {BDO} = \widehat {OB{\rm{D}}}$

$\Rightarrow \widehat {BOD} = 180^\circ - 2\widehat {OB{\rm{D}}}$ (2)

Vì OC // BD nên $\widehat {OB{\rm{D}}} = \widehat {SOC}$ (3)

Từ (1) , (2) và (3) ta có $\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {OSC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Þ OD // SC

Mà SC ⊥ CB

Þ OD ⊥ CB (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác BCD có DE ⊥ CB

Nên DE . CB = CD . BD

Suy ra $DE = \frac{{C{\rm{D}}.B{\rm{D}}}}{{CB}}$

Vì tam giác OHD vuông tại H nên theo định lý Pytago có

${\rm{D}}H = \sqrt {O{{\rm{D}}^2} - O{H^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{1}{3}R} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 8 R}}{3}$

Vì tam giác BHD vuông tại H nên theo định lý Pytago có

\[{\rm{DB}} = \sqrt {{\rm{H}}{{\rm{D}}^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 8 R}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}R} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {12} R}}{3}\]

Vì tam giác ABD vuông tại D nên theo định lý Pytago có

${\rm{AD}} = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt {12} }}{3}R} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 R}}{3}$

Suy ra ${\rm{CD}} = \frac{1}{2}{\rm{AD}} = \frac{{\sqrt 6 R}}{3}$

Vì tam giác BCD vuông tại D nên theo định lý Pytago có

${\rm{CB}} = \sqrt {{\rm{C}}{{\rm{D}}^2} + B{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 6 R}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {12} }}{3}R} \right)}^2}} = \sqrt 2 R$

Suy ra $DE = \frac{{C{\rm{D}}.B{\rm{D}}}}{{CB}} = \frac{{\frac{{\sqrt 6 R}}{3}.\frac{{\sqrt {12} R}}{3}}}{{\sqrt 2 R}} = \frac{{2R}}{3}$

Kẻ EI ⊥ AB

Mà DH ⊥ AB nên EI // DH

Suy ra $\frac{{DH}}{{EI}} = \frac{{OD}}{{OE}}$

Do đó $\frac{{DH}}{{DH - EI}} = \frac{{OD}}{{O{\rm{D}} - OE}} = \frac{{OD}}{{E{\rm{D}}}}$

Suy ra $\frac{{\frac{{\sqrt 8 R}}{3}}}{{\frac{{\sqrt 8 R}}{3} - EI}} = \frac{R}{{\frac{{2R}}{3}}}$

Do đó ${\rm{EI = }}\frac{{\sqrt 8 R}}{9}$

Ta có ${{\rm{S}}_{A{\rm{E}}B}} = \frac{1}{2}EI.AB = \frac{1}{2}\frac{{\sqrt 8 R}}{9}.2{\rm{R = }}\frac{{\sqrt 8 {R^2}}}{9}$ .

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.

b) Chứng minh AC . BD = R².

c) Kẻ MH vuông góc AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.

Xem đáp án » 12/07/2024 22,333

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm giao điểm Q của SD và (MNP).

Xem đáp án » 12/07/2024 21,127

Câu 3:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ AH vuông góc với BC. Từ H vẽ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt đường tròn (O; R) tại K

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Chứng minh AE vuông góc với MN.

c) Chứng minh AH = AK.

Xem đáp án » 12/07/2024 11,161

Câu 4:

Cho hàm số y = 2x + 3.

a) Vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ và đơn vị trên các trục tọa độ là cm).

c) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,328

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là 1 điểm bất kỳ. Chứng minh

a) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {M{\rm{D}}} = 4\overrightarrow {MO}$

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} = 2\overrightarrow {AC}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 8,934

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a.

a) Chứng minh (SCD) vuông góc (SAD).

b) Tính d(A, (SCD)).

Xem đáp án » 12/07/2024 7,937

Câu 7:

Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,839

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm giao điểm Q của SD và (MNP).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a. a) Chứng minh (SCD) vuông góc (SAD). b) Tính d(A, (SCD)).

Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a.

a) Chứng minh (SCD) vuông góc (SAD).

b) Tính d(A, (SCD)).

Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.