Cho biểu thức \(P = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{x + \sqrt x - 6}}} \right)\).

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P biết \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\).

c) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

d) Tìm x để P < 1.

e) Tìm các giá trị của x để \(P = \sqrt x - 3\).

Lời giải

a) Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 4.

Ta có \(P = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{x + \sqrt x - 6}}} \right)\)

b) Ta có  \(x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)^2}\) (thỏa mãn điều kiện)

Suy ra \(\sqrt x = \left| {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right| = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\)

c) Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có

Để P nguyên thì \(\frac{3}{{\sqrt x + 1}}\) nguyên

\( \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( 3 \right) = \left\{ {1;3; - 1; - 3} \right\}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x \in \left\{ {0;2; - 2; - 4} \right\}\)

\( \Leftrightarrow x \in \left\{ {0;4} \right\}\)

Kết hợp điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4 ta có: x = 0.

Vậy x = 0.

d) Để P < 1 ⇔ \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} - 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 1}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x + 1 > 0\) (luôn đúng)

Vậy P < 1 với mọi x ≥ 0, x ≠ 4.

e) Để \(P = \sqrt x - 3\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x - 3\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) = \sqrt x - 2\)

\( \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 3 = \sqrt x - 2\)

\( \Leftrightarrow x - 3\sqrt x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\\\sqrt x = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\) (vì \(\sqrt x > 0\))

\( \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^2} = \frac{{11 + 3\sqrt {13} }}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = \frac{{11 + 3\sqrt {13} }}{2}\) thì \(P = \sqrt x - 3\).