Tìm các chữ số a, b, c, d sao cho tổng abc + dba chia hết cho aa và được thương là aa (abc, dba là các số có 3 chữ số theo thứ tự là a, b, c và d, b, a; aa là số có 2 chữ số đều bằng a).

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\overline {abc} + \overline {dba} } \right):\overline {aa} = \overline {aa} \) nên \(\left( {\overline {abc} + \overline {dba} } \right) = \overline {aa} .\overline {aa} = 121a.a\)

Vì \(\overline {abc} + \overline {dba} < 2000\) nên a.a.121 < 2000 ⇒ a.a < 17 nên \(a \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

TH1: a = 1, ta có: \(\overline {abc} + \overline {dba} = 1.1.121 = 121 < 2000\)

Mà \(\overline {abc} + \overline {dba} \) không thể nhỏ hơn 200 nên loại

TH2: a = 2, ta có: \(\overline {abc} + \overline {dba} = 2.2.121 = 484 < 2000\)

Ở hàng đơn vị ta có c + a = c + 2 = 4 thì c = 2

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 2 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 1.

Vậy a = 2, b = 4, c = 2, d = 2 hoặc a = 2, b = 9, c = 2, d = 1.

TH3: a = 3, ta có: \(\overline {abc} + \overline {dba} = 3.3.121 = 1089 < 2000\)

Ở hàng đơn vị ta có c + a = c + 3 = 9 thì c = 6

Ở hàng chục ta có: b + b = 8 ⇔ b = 4 ⇒ d = 7 hoặc b + b = 18 ⇔ b = 9 ⇒ d = 6.

Vậy a = 3, b = 4, c = 6, d = 7 hoặc a = 3, b = 9, c = 6, d = 6.

TH4. a = 4, ta có: \(\overline {abc} + \overline {dba} = 4.4.121 = 1936 < 2000\)

Vì \(\overline {abc} = \overline {4bc} < 500\) và \(\overline {dba} < 1000\) nên \(\overline {abc} + \overline {dba} \) < 1500 < 1936.

Do đó trường hợp này loại.