Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10.

Lời giải:

x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10

⇔ x² + y² + 4z² + 2xy – 4xz – 4yz + 4y² + 4yz + z² + z² = 10

⇔ (x + y – 2z)² + (2y + z)² + z² = 10   (1)

Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)², (2y + z)², z² là các số chính phương.

Ta có 10 = 0 + 1 + 9.

Trường hợp 1: z² = 0 ⇔ z = 0.

Khi đó ta có (2y)² = 1 hoặc (2y²) = 9.

Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 2: (2y + z)² = 0 ⇔ z = –2y.

Suy ra z² = (–2y)² = 1 hoặc z² = (–2y)² = 9.

Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 3: (x + y – 2z)² = 0.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y - 2z} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {2y + z} \right)}^2} = 1}\\{{z^2} = 9}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y - 2z} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {2y + z} \right)}^2} = 9}\\{{z^2} = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2z = 0}\\{2y + z = 1}\\{z = \pm 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2z = 0}\\{2y + z = 9}\\{z = \pm 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7}\\{y = - 1}\\{z = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8}\\{y = 2}\\{z = - 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = 4}\\{z = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 7}\\{y = 5}\\{z = - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3); (–8; 2; –3); (–2; 4; 1); (–7; 5; –1)}.