Câu hỏi:
15/05/2023 440
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C ≠ A, B) vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB tại H, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N.
a) Chứng minh MA2 = MQ.MB.
b) MO cắt AC tại I. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp.
c) Chứng minh: IN ⊥ CH.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C ≠ A, B) vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB tại H, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N.
a) Chứng minh MA2 = MQ.MB.
b) MO cắt AC tại I. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp.
c) Chứng minh: IN ⊥ CH.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) ∆AQB nội tiếp đường tròn (O)
\( \Rightarrow \widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒ AQ ⊥ QB hay AQ ⊥ BM.
∆ABM vuông tại A (do Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AB) có AQ ⊥ BM, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra: MA2 = MQ . MB (đpcm).
b) ∆ACB nội tiếp đường tròn (O)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒ AC ⊥ CB. (1)
Ta có: OA = OC (Bán kính của đường tròn tâm O)
Và MA = MC (Hai tiếp tuyến MA, MC cắt nhau tại M)
Suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
⇒ MO ⊥ AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC // OM (cùng vuông góc với AC).
\( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {MBC}\) (so le trong).
Hay \(\widehat {IMQ} = \widehat {MBC}\). (3)
Mặt khác: \(\widehat {QAI} = \widehat {MBC}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung QC). (4)
Từ (3) và (4), suy ra \(\widehat {IMQ} = \widehat {QAI}\).
Do M và A cùng nhìn QI cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác AIQM nội tiếp.
c) Do tứ giác AIQM nội tiếp nên suy ra:
\(\widehat {AMI} = \widehat {AQI}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AI) (5)
Ta có: \(\widehat {IQN} = \widehat {AQB} - \widehat {AQI} = 90^\circ - \widehat {AQI}\) (6).
Xét tam giác AIM vuông tại I có \(\widehat {AMI} + \widehat {MAI} = 90^\circ \).
Và \(\widehat {MAI} + \widehat {IAO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {IAO}\) (Hai góc cùng phụ với \(\widehat {MAI}\)) (7)
Xét tam giác CAH vuông tại H có:
\(\widehat {CAH} + \widehat {ACH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACH} = 90^\circ - \widehat {CAH}\)
Hay \(\widehat {ICN} = 90^\circ - \widehat {IAO}\) (8).
Từ (5), (6), (7) và (8), suy ra \(\widehat {IQN} = \widehat {ICN}\).
Do Q và C cùng nhìn IN cố định dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác IQCN nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung CN) (*)
Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQB}\) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung CB) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CAH}\).
Suy ra IN // AH (Có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
Mà AH ⊥ CH nên suy ra IN ⊥ CH.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho 2 tập hợp \(M = \left[ {2m - 1;2m + 5} \right]\) và \(N = \left[ {m + 1;m + 7} \right]\)(với m là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của m để hợp của 2 tập hợp M và N là 1 đoạn có độ dài bằng 10.
Xem đáp án »
15/05/2023
17,351
Câu 2:
Một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có kích thước trong lòng hồ là: Chiều dài 12m, chiều rộng 5m, chiều sâu 3m.
a. Tính thể tích của hồ bơi.
b. Tính diện tích cần lát gạch bên trong lòng hồ (mặt đáy và 4 mặt xung quanh).
c. Biết gạch hình vuông dùng để lát hồ bơi có cạnh 50cm. Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu viên gạch để lát bên trong hồ bơi.
Một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có kích thước trong lòng hồ là: Chiều dài 12m, chiều rộng 5m, chiều sâu 3m.
a. Tính thể tích của hồ bơi.
b. Tính diện tích cần lát gạch bên trong lòng hồ (mặt đáy và 4 mặt xung quanh).
c. Biết gạch hình vuông dùng để lát hồ bơi có cạnh 50cm. Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu viên gạch để lát bên trong hồ bơi.
Xem đáp án »
12/07/2024
15,334
Câu 3:
Các cột điện trước đây cách nhau 60 m, hiện nay trồng lại cách nhau 45 m. Hỏi sau cột đầu tiên không phải trồng lại thì cột gần nhất không phải trồng lại là cột thứ mấy?
Xem đáp án »
15/05/2023
4,139
Câu 4:
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày đội thứ hai làm được khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Xem đáp án »
15/05/2023
3,212
Câu 5:
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz +zx = 1. Tính:
\(A = x\sqrt {\frac{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} + y\sqrt {\frac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \).
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz +zx = 1. Tính:
\(A = x\sqrt {\frac{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} + y\sqrt {\frac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \).
Xem đáp án »
15/05/2023
3,042
Câu 6:
Cho hình tròn tâm O, đường kính AB = 8 cm.
a. Tính chu vi hình tròn tâm O đường kính AB, hình tròn tâm M, đường kính AO và hình tròn tâm N, đường kính OB.
b. So sánh tổng chu vi của hình tròn tâm M và hình tròn tâm N với chu vi hình tròn tâm O.
c. Tính diện tích phần đã tô đậm của hình tròn tâm O.
Cho hình tròn tâm O, đường kính AB = 8 cm.
a. Tính chu vi hình tròn tâm O đường kính AB, hình tròn tâm M, đường kính AO và hình tròn tâm N, đường kính OB.
b. So sánh tổng chu vi của hình tròn tâm M và hình tròn tâm N với chu vi hình tròn tâm O.
c. Tính diện tích phần đã tô đậm của hình tròn tâm O.
Xem đáp án »
15/05/2023
2,796
Câu 7:
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HD, HE lần lượt là đường cao của ∆AHB và ∆AHC. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{HB}}{{HC}}\).
b) \(\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BD}}{{EC}}\).
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HD, HE lần lượt là đường cao của ∆AHB và ∆AHC. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{HB}}{{HC}}\).
b) \(\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BD}}{{EC}}\).
Xem đáp án »
15/05/2023
1,937
về câu hỏi!