Câu hỏi:
16/05/2023 314Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 411 chứng minh:
a) A chia hết cho 21.
b) A chia hết cho 105.
c) A chia hết cho 4097.
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
a) \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)
\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4} + {4^5}} \right) + ... + \left( {{4^9} + {4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)
\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + {4^3}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + ... + {4^9}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\)
\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\)
\( = 21\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\; \vdots \;21\)
Vậy A ⋮ 21
b) \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)
\( = \left( {1 + 4} \right) + \left( {{4^2} + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)
\( = \left( {1 + 4} \right) + {4^2}\,.\,\left( {1 + 4} \right) + ... + {4^{10}}\,.\,\left( {1 + 4} \right)\)
\( = \left( {1 + 4} \right)\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\)
\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\; \vdots \;5\)
Vậy A ⋮ 5
Với A ⋮ 5 và A ⋮ 21 mà ƯCLN(5, 21) = 1 nên A ⋮ 105.
c) \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)
\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + \left( {4 + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^8} + {4^{10}}} \right) + \left( {{4^9} + {4^{11}}} \right)\)
\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + 4\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + ... + {4^8}\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + {4^9}\left( {1 + {4^2}} \right)\)
\( = \left( {1 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\)
\( = 17\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\; \vdots \;17\)
Vậy A ⋮ 17
Xét \(B = 1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}\)
\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + \left( {4 + {4^5} + {4^9}} \right)\)
\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + 4\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right)\)
\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) = 5\,.\,65793\)
Vì 65 793 ⋮ 241 nên B ⋮ 241 suy ra A ⋮ 241
Với A ⋮ 17 và A ⋮ 241 mà ƯCLN(17, 241) = 1 nên A ⋮ 4097.
Đã bán 187
Đã bán 189
Đã bán 1,5k
Đã bán 1,4k
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Tính: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}\).
Câu 3:
Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 thì 9x + 5y chia hết cho 17.
Câu 5:
Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm số 64 vào bên trái số đó thì được một số gấp 81 lần số đã cho.
Câu 7:
Cho góc nhọn a, biết sin a = 0,6. Không tính số đo góc a, hãy tính cos a, tan a, cot a.
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận