Câu hỏi:

16/05/2023 448

Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

\({\left( {a + b + c} \right)^3}\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{b^2}c + 2b{c^2} + 3{c^2}a + 3c{a^2} + 6abc\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + \left( {3{a^2}b + 3a{b^2} + 3abc} \right) + \left( {3{b^2}c + 2b{c^2} + 3abc} \right) + \left( {3{c^2}a + 3c{a^2} + 3abc} \right) - 3abc\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ca\left( {a + b + c} \right) - 3abc\)

Với a3 + b3 + c3 = 3abc nên suy ra:

\[{\left( {a + b + c} \right)^3} = 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ca\left( {a + b + c} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3ab + 3bc + 3ca\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c = 0\end{array} \right.\]

Vậy nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm tất cả các số tự nhiên n thõa mãn 5n + 14 chia hết cho n + 2.

Xem đáp án » 16/05/2023 13,364

Câu 2:

Tính: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}\).

Xem đáp án » 16/05/2023 8,371

Câu 3:

Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 thì 9x + 5y chia hết cho 17.

Xem đáp án » 16/05/2023 7,036

Câu 4:

Tìm x: 2x + 2x + 3 = 144.

Xem đáp án » 16/05/2023 5,323

Câu 5:

Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm số 64 vào bên trái số đó thì được một số gấp 81 lần số đã cho.

Xem đáp án » 16/05/2023 4,814

Câu 6:

Tìm 2 số chẵn có tổng bằng 216, biết giữa chúng có 5 số chẵn.

Xem đáp án » 16/05/2023 3,408

Câu 7:

Cho góc nhọn a, biết sin a = 0,6. Không tính số đo góc a, hãy tính cos a, tan a, cot a.

Xem đáp án » 16/05/2023 3,298
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua