Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn. M là điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N.

a) Chứng minh AOME và BOMN là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AE.BN = R².

c) Kẻ MH vuông góc By. Đường thẳng MH cắt OE tại K. Chứng minh AK ⊥ MN.

d) Giả sử \[\widehat {MAB} = \alpha \] và MB < MA. Tính diện tích phần tứ giác BOMH ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R và α.

e) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O).

Lời giải

1) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) (do MA là tiếp tuyến của (O), A là tiếp điểm).

Suy ra ba điểm O, A, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM   (1)

Lại có \(\widehat {OBM} = 90^\circ \) (do MB là tiếp tuyến của (O), B là tiếp điểm).

Suy ra ba điểm O, B, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM   (2)

Từ (1), (2), ta được tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

2) Đường tròn (O) có NP là dây cung.

Mà K là trung điểm của NP (giả thiết).

Suy ra OK ⊥ NP tại K hay \(\widehat {OKM} = 90^\circ \).

Do đó ba điểm O, K, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM.

Mà từ kết quả câu 1), ta có bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường tròn đường kính OM.

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn đường kính OM.

3) Từ kết quả câu 1), ta có tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Suy ra AB là dây cung của đường tròn đường kính OM.

Do đó OM ⊥ AB.

∆OAM vuông tại A có AI là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OA² = OI.OM và OI.IM = IA².

⇔ OI.OM = R² và OI.IM = IA².

Vậy ta có điều phải chứng minh.

4) Ta có OA ⊥ AM (do AM là tiếp tuyến của (O) và BD ⊥ MA (giả thiết).

Suy ra OA // BD.

Chứng minh tương tự, ta được OB // AC.

Do đó tứ giác OAHB là hình bình hành.

Mà OA = OB = R.

Vậy tứ giác OAHB là hình thoi.

5) Ta có OH ⊥ AB (do tứ giác OAHB là hình thoi).

Mà OM ⊥ AB (theo kết quả câu 3).

Do đó OM ≡ OH.

Vậy ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6) Do d là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên mọi điểm đều nằm cùng một phía đối với d.

Ta có OAHB là hình thoi (kết quả câu 4).

Suy ra AH = OA = R.

Do đó khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A một khoảng cố định bằng R.

Vậy quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A, bán kính AH = R.

Lời giải

a) Ta có D là điểm đối xứng của M qua N (giả thiết).

Suy ra N là trung điểm MD.

Mà N cũng là trung điểm AC (giả thiết).

Do đó tứ giác ADCM là hình bình hành (1)

∆ABC có AM là đường cao (giả thiết).

Suy ra AM ⊥ BC tại M.

Khi đó \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)   (2)

Từ (1), (2), ta được tứ giác ADCM là hình chữ nhật.

b) Ta có ADCM là hình chữ nhật.

Suy ra AD // MC và AD = MC (3)

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \);

AM là cạnh chung;

AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BM = CM (cặp cạnh tương ứng)    (4)

Từ (3), (4), suy ra AD = BM và AD // BM.

Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành

Khi đó hai đường chéo AM và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Vậy BD đi qua trung điểm O của AM.

c) ∆AMD có O, N lần lượt là trung điểm của AM, MD.

Suy ra ∆AMD có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của ∆AMD.

Vì vậy \(DI = \frac{2}{3}DO\).

Mà OD = OB (do ABMD là hình bình hành nên trung điểm O của AM cũng là trung điểm của BD).

Vậy \(DI = \frac{2}{3}OB\).

d) Xét ∆ANO và ∆MNO, có:

AN = MN (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);

NO là cạnh chung;

AO = OM (O là trung điểm AM).

Do đó ∆ANO = ∆MNO (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AON} = \widehat {MON}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \[\widehat {AON} + \widehat {MON} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

Do đó \(\widehat {AON} = \widehat {MON} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {OME} = \widehat {MEN} = 90^\circ \).

Vì vậy tứ giác ONEM là hình chữ nhật.

Ta có E là hình chiếu của N lên BC.

Suy ra NE ⊥ MC.

Xét ∆MNE và ∆CNE, có:

NE là cạnh chung;

MN = NC (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);

\(\widehat {NEM} = \widehat {NEC} = 90^\circ \).

Do đó ∆MNE = ∆CNE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra ME = CE (cặp cạnh tương ứng).

Vì vậy E là trung điểm MC.

Do đó \(ME = \frac{1}{2}MC\).

Để tứ giác ONEM là hình vuông thì cần thêm điều kiện OM = ME.

Suy ra \(\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MC\).

Do đó AM = MC = BM.

Vì vậy ∆ABC vuông cân tại A (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Vậy tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) để tứ giác ONEM là hình vuông.