Câu hỏi:

13/07/2024 11,917

Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.

a) Cho \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.

d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến HM và ME cắt nhau tại M.

Suy ra OM là tia phân giác của \(\widehat {HME}\).

Do đó \(\widehat {HMO} = \widehat {OME} = \frac{1}{2}\widehat {HME} = \beta \).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {ONK} = \widehat {ONE} = \frac{1}{2}\widehat {ENK} = \gamma \).

Tứ giác BMNC, có: \(\widehat {CBM} + \widehat {BMN} + \widehat {MNC} + \widehat {NCB} = 360^\circ \).

\( \Leftrightarrow \alpha + 2\beta + 2\gamma + \alpha = 360^\circ \).

\( \Leftrightarrow 2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 360^\circ \).

\( \Leftrightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \) (1)

∆MON, có: \(\widehat {MON} + \beta + \gamma = 180^\circ \)   (2)

Từ (1), (2), ta được \(\widehat {MON} = \alpha \).

b) Xét ∆BOM và ∆ONM, có:

\(\widehat {MBO} = \widehat {MON} = \alpha \);

\(\widehat {BMO} = \widehat {OMN} = \beta \).

Do đó  (g.g).

Chứng minh tương tự, ta được  (g.g).

Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng là ∆BOM, ∆ONM và ∆CON.

c) Ta có O là trung điểm của BC và BC = 2a.

Suy ra \(BO = CO = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Ta có  (chứng minh trên).

Suy ra \(\frac{{BM}}{{CO}} = \frac{{BO}}{{CN}}\).

Do đó BM.CN = CO.BO = a.a = a2.

Vậy BM.CN = a2.

d) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được \(BM + CN \ge 2\sqrt {BM.CN} = 2\sqrt {{a^2}} = 2a\).

Ta thấy a là một số không đổi.

Dấu “=” xảy ra BM = CN = a.

Vì vậy tổng BM + CN nhỏ nhất khi và chỉ khi BM = CN = a.

Ta có tỉ số \(\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{AC}}\).

Áp dụng định lí Thales đảo, ta được: MN // BC.

Vậy khi tiếp tuyến MN của (O) song song với đường thẳng BC thì tổng BM + CN nhỏ nhất.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

1) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) (do MA là tiếp tuyến của (O), A là tiếp điểm).

Suy ra ba điểm O, A, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM   (1)

Lại có \(\widehat {OBM} = 90^\circ \) (do MB là tiếp tuyến của (O), B là tiếp điểm).

Suy ra ba điểm O, B, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM   (2)

Từ (1), (2), ta được tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

2) Đường tròn (O) có NP là dây cung.

Mà K là trung điểm của NP (giả thiết).

Suy ra OK NP tại K hay \(\widehat {OKM} = 90^\circ \).

Do đó ba điểm O, K, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM.

Mà từ kết quả câu 1), ta có bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường tròn đường kính OM.

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn đường kính OM.

3) Từ kết quả câu 1), ta có tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Suy ra AB là dây cung của đường tròn đường kính OM.

Do đó OM AB.

∆OAM vuông tại A có AI là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OA2 = OI.OM và OI.IM = IA2.

OI.OM = R2 và OI.IM = IA2.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

4) Ta có OA AM (do AM là tiếp tuyến của (O) và BD MA (giả thiết).

Suy ra OA // BD.

Chứng minh tương tự, ta được OB // AC.

Do đó tứ giác OAHB là hình bình hành.

Mà OA = OB = R.

Vậy tứ giác OAHB là hình thoi.

5) Ta có OH AB (do tứ giác OAHB là hình thoi).

Mà OM AB (theo kết quả câu 3).

Do đó OM ≡ OH.

Vậy ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6) Do d là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên mọi điểm đều nằm cùng một phía đối với d.

Ta có OAHB là hình thoi (kết quả câu 4).

Suy ra AH = OA = R.

Do đó khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A một khoảng cố định bằng R.

Vậy quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A, bán kính AH = R.

Câu 2

Lời giải

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Media VietJack

Ta có C = C’M ∩ (A’BC).

Suy ra \(\frac{{d\left( {M,\,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{CM}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\) (do M là trung điểm CC’).

Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.

Suy ra AA’ (ABC) và AA’ = AB = BC = a.

Ta có \({V_{C'.ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.CC'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}\)

\( = \frac{1}{6}.a.a.a.\sin 60^\circ = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

∆AA’B vuông tại A: \(A'B = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Chứng minh tương tự, ta được \(A'C = a\sqrt 2 \).

Nửa chu vi ∆A’BC là: \(p = \frac{{A'C + A'B + BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 + a\sqrt 2 + a}}{2} = \frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2}\).

Ta có \({S_{\Delta A'BC}} = \sqrt {p\left( {p - A'C} \right)\left( {p - A'B} \right)\left( {p - BC} \right)} \)

\( = \sqrt {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2}\left( {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2} - a\sqrt 2 } \right)\left( {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2} - a\sqrt 2 } \right)\left( {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2} - a} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).

Ta có \(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{C'.A'BC}}}}{{{S_{\Delta A'BC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vì vậy \(d\left( {M,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Vậy ta chọn phương án B.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP