Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm N trên cạnh AB, tia CN cắt tia DA tại E: tia Cx vuông góc với tia CE, tia Cx cắt AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn EF.  

a) CE = CF và M, B, D thẳng hàng. 

b) Chứng minh \(\widehat {ACE}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\).

Xét tam giác CDE và tam giác CBF có:

\(\widehat {CDA}\, = \,\widehat {CBF}\,\)= 90°

CD = CB

\(\widehat {DCE}\,\, = \,\,\widehat {FCB}\,\)= 90° – \(\widehat {BCE}\)

Suy ra: ΔCDE ᔕ ΔCBF (g.c.g)

⇒\(\frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{CE}}{{CF}}\) mà CD = CB nên CE = CF.

Ta thấy các tam giác EAF vuông tại A, ECF vuông tại C có M là trung điểm cạnh huyền EF.

Suy ra MA = MC =\(\frac{1}{2}EF\).

Vậy M, B, D cùng nằm trên trung trực đoạn AC hay M, B, D thẳng hàng.

b) Từ giả thiết và câu a ta có: ΔECF vuông cân tại C.

Vì M là trung điểm EF nên ME = MF

Mà CM = \(\frac{1}{2}EF\) = ME = MF

Nên ΔMEC vuông cân tại M.

Ta có: \(\widehat {ACE}\,\,\)= 45° – \(\widehat {BCE}\,\)

\(\widehat {BCM}\,\)=  45° – \(\widehat {BCE}\,\)

Suy ra: \(\widehat {ACE}\, = \,\widehat {BCM}\,\).