Chứng minh các biểu thức sau dương:

a) x² – 8x + 20.

b) 4x² – 12x + 11.

c) x² – x + 1.

d) x² – 2x + y² + 4y + 6.

a) x² – 8x + 20 = (x² – 8x + 16) + 4 = (x + 4)² + 4

Vì (x + 4)² ≥ 0 với mọi x

Nên (x + 4)² + 4 > 0 với mọi x

Vậy biểu thức x² – 8x + 20 dương.

b) 4x² – 12x + 11 = (4x² – 12x + 9) + 2 = (2x – 3)² + 2

Vì (2x – 3)² ≥ 0 với mọi x

Nên (2x – 3)² + 2 > 0 với mọi x

Vậy biểu thức 4x² – 12x + 11 dương.

c) \[{{\rm{x}}^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\]

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x

Nên \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi x

Vậy biểu thức x² – x + 1 dương.

d) x² – 2x + y² + 4y + 6

= (x² – 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + 1

= (x – 1)² + (y + 2)² + 1

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x

(y + 2)² ≥ 0 với mọi y

Nên (x – 1)² + (y + 2)² + 1 > 0 với mọi x, y

Vậy biểu thức x² – 2x + y² + 4y + 6 dương.