Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 128 quyền vở; 48 bút chì và 192 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau cho các học sinh giỏi nhân dịp tổng kết năm học. Hỏi có thể chia nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng? Mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì và bao nhiêu tập giấy?

Diện tích một mặt của hình lập phương là:

54 : 6 = 9 (cm²)

Vì 9 = 3 × 3 nên cạnh hình lập phương là 3 cm

Thể tích của hình lập phương là :

3 × 3 × 3 = 27 (cm³)

Vậy thể tích hình lập phương đó là 27 cm³.

Ta có 3x² + 3y² + 4xy + 2x – 2y + 2 = 0

⇔ (2x² + 4xy + 2y²) + (x² + 2x + 1) + (y² – 2y + 1) = 0

⇔ 2(x + y)² + (x + 1)² + (y – 1)² = 0

Vì (x + y)² ≥ 0 với mọi x, y

     (x + 1)² ≥ 0 với mọi x

     (y – 1)² ≥ 0 với mọi y

Suy ra 2(x + y)² + (x + 1)² + (y – 1)² ≥ 0 với mọi x, y

Do đó phương trình có nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + 1 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Thay x = – 1, y = 1 vào M ta được

M = (x + y)²⁰¹⁰ + (x + 2)²⁰¹¹ + (y – 1)²⁰¹²

M = [(– 1) + 1]²⁰¹⁰ + [(– 1) + 2]²⁰¹¹ + (1 – 1)²⁰¹²

M = 0 + 1 + 0 = 1

Vậy M = 1.