Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D và AC tại E. Chứng minh DE = BD + CE.

Vì BI là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)

Nên \(\widehat {ABI} = \widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Vì CI là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)

Nên \(\widehat {ACI} = \widehat {ICB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\)

Vì DI // BC nên \(\widehat {DIB} = \widehat {IBC}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {IBC}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {DIB} = \widehat {IBD}\)

Do đó tam giác BDI cân ở D

Suy ra DI = DB

Vì EI // BC nên \(\widehat {EIC} = \widehat {ICB}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {ACI} = \widehat {ICB}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {EIC} = \widehat {ECI}\)

Do đó tam giác EIC cân ở E

Suy ra EI = EC

Ta có DE = DI + IE = BD + CE

Vậy DE = BD + CE.