Câu hỏi:

12/07/2024 1,110

Cho đường tròn (O) và dây cung AB của (O) không là đường kính. Gọi I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OI tại P và Q.

a) Chứng minh rằng AP . AQ = AI2.

b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ cắt AB tại K khác B. Chứng minh
rằng AK . AB = AP . AQ.

c) Chứng minh rằng K là trung điểm của AI.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho đường tròn (O) và dây cung AB của (O) không là đường kính. Gọi I là trung điểm của (ảnh 1)

a) Xét (O; OA) có I là trung điểm của dây cung AB, suy ra OI AB

Xét (O; OI) có OI AI

Suy ra AI là tiếp tuyến của (O; OI) tại I

Do đó \(\widehat {PIA} = \widehat {PQI}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung PI)

Xét DAIP và DAQI có

\(\widehat {PIA} = \widehat {PQI}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {PAI}\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AI}}\), suy ra AP . AQ = AI2

b) Vì BKPQ là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {APK} = \widehat {KBQ}\)

Xét DAPK và DABQ có

\(\widehat {APK} = \widehat {ABQ}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {PAK}\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AQ}}\), suy ra AP . AQ = AB . AK.

c) Ta có AP . AQ = AB . AK (chứng minh câu b)

AP . AQ = AI2 (chứng minh câu a)

Suy ra AB . AK = AI2

2AI . AK = AI2 (vì I là trung điểm của AB)

2AK = AI

\( \Rightarrow AK = \frac{1}{2}AI\)

Vậy K là trung điểm của AI.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hình lập phương có diện tích toàn phần là 54 cm2 . Tính thể tích hình đó.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,032

Câu 2:

Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 128 quyền vở; 48 bút chì và 192 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau cho các học sinh giỏi nhân dịp tổng kết năm học. Hỏi có thể chia nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng? Mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì và bao nhiêu tập giấy?

Xem đáp án » 12/07/2024 5,706

Câu 3:

Cho các số x, y thõa mãn đẳng thức 3x2 + 3y2 + 4xy + 2x – 2y + 2 = 0.

Tính  M = (x + y)2010 + (x + 2)2011 + (y – 1)2012.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,367

Câu 4:

Cho 1000 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi 2 trong 1000 điểm đó?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,107

Câu 5:

Tìm x:

a) 4x(3x – 7) – 6(2x2 – 5x + 1) = 12

b) (5x + 3)(4x – 1) + (10x – 7)(–2x + 3) = 27

c) (8x – 5)(3x + 2) – (12x + 7)(2x – 1) = 17

d) (5x + 9)(6x – 1) – (2x – 3)(15x + 1) = – 190.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,064

Câu 6:

Trung bình cộng của hai số là 12,35. Tìm hai số đó biết rằng hiệu của chúng bằng 3,3.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,740

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho \(BM = \frac{1}{3}AB\), trên cạnh AC lấy điểm N sao cho \(CN = \frac{1}{3}AC\). Nối B với N, C với M, hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại O. Hãy so sánh diện tích tam giác OMB và ONC.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,709
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua