Cho đường tròn (O) và dây cung AB của (O) không là đường kính. Gọi I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OI tại P và Q.

a) Chứng minh rằng AP . AQ = AI².

b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ cắt AB tại K khác B. Chứng minh
rằng AK . AB = AP . AQ.

c) Chứng minh rằng K là trung điểm của AI.

a) Xét (O; OA) có I là trung điểm của dây cung AB, suy ra OI ⊥ AB

Xét (O; OI) có OI ⊥ AI

Suy ra AI là tiếp tuyến của (O; OI) tại I

Do đó \(\widehat {PIA} = \widehat {PQI}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung PI)

Xét DAIP và DAQI có

\(\widehat {PIA} = \widehat {PQI}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {PAI}\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AI}}\), suy ra AP . AQ = AI²

b) Vì BKPQ là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {APK} = \widehat {KBQ}\)

Xét DAPK và DABQ có

\(\widehat {APK} = \widehat {ABQ}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {PAK}\) là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AQ}}\), suy ra AP . AQ = AB . AK.

c) Ta có AP . AQ = AB . AK (chứng minh câu b)

AP . AQ = AI² (chứng minh câu a)

Suy ra AB . AK = AI²

⇔ 2AI . AK = AI² (vì I là trung điểm của AB)

⇔ 2AK = AI

\( \Rightarrow AK = \frac{1}{2}AI\)

Vậy K là trung điểm của AI.