Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD 

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành

b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi.

a) Xét tam giác BAD có: M, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD

Suy ra MQ là đường trung bình của tam giác BAD

Do đó MQ // AD và \(MQ = \frac{1}{2}A{\rm{D}}\)                           (1)

Xét tam giác CAD có: N, P lần lượt là trung điểm của AC, CD

Suy ra NP là đường trung bình của tam giác CAD

Do đó NP // AD và \(NP = \frac{1}{2}A{\rm{D}}\)                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ // NP ; MQ = NP

Xét tứ giác MNPQ có: MQ // NP ; MQ = NP (chứng minh trên)

Suy ra MNPQ là hình bình hành

b) Xét tam giác CAB có: N, M là trung điểm của AC, AB

Suy ra NM là đường trung bình của tam giác CAB

Do đó \(NM = \frac{1}{2}BC\)                    

Để MPNQ là hình thoi ⇔ MN = MQ

⇔ AD = BC (vì \(MQ = \frac{1}{2}A{\rm{D,}}MN = \frac{1}{2}BC\))

⇔ Hình thang ABCD là hình thang cân

Vậy hình thang ABCD cân thì MNPQ là hình bình hành.