Câu hỏi:
13/07/2024 933
Cho a, b,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của
A = \[\frac{{a + 1}}{{{a^2} + 2a + 2}} + \frac{{b + 1}}{{{b^2} + 2b + 2}} + \frac{{c + 1}}{{{c^2} + 2c + 2}}\].
Cho a, b,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của
A = \[\frac{{a + 1}}{{{a^2} + 2a + 2}} + \frac{{b + 1}}{{{b^2} + 2b + 2}} + \frac{{c + 1}}{{{c^2} + 2c + 2}}\].
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
ab + bc + ca + abc = 2
⇔ (1 + a)(1 + b)(1 + c) = (1 + a) + (1 + b) + (1 + c)
⇔ \[\frac{1}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}} + \frac{1}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}} = 1\]
Đặt x = \(\frac{1}{{1 + a}}\); y = \(\frac{1}{{1 + b}}\); z = \(\frac{1}{{1 + c}}\)
Ta có: xy + yz + zx = 1
A = \[\frac{{a + 1}}{{{a^2} + 2a + 2}} + \frac{{b + 1}}{{{b^2} + 2b + 2}} + \frac{{c + 1}}{{{c^2} + 2c + 2}}\]
A = \(\frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + 1}} + \frac{{\frac{1}{y}}}{{\frac{1}{{{y^2}}} + 1}} + \frac{{\frac{1}{z}}}{{\frac{1}{{{z^2}}} + 1}} = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}} + \frac{z}{{{z^2} + 1}}\)
A = \[\frac{x}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y + z} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{z}{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\]
A = \(\frac{2}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)
Mà 9(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8 (x + y + z)(xy + yz + zx)
⇔ \(\frac{2}{9}\)x2y + y2z + z2x + xy2 + yz2 + zx2 ≥ 6xyz (đúng theo bất đẳng thức Côsi)
Suy ra:
A ≤ \(\frac{2}{{\frac{8}{9}\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + zx} \right)}} = \frac{9}{{4\left( {x + y + z} \right)}} \le \frac{9}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
(Vì (x+y+z)2 ≥ 3(xy+yz+zx) = 3)
Vậy giá trị lớn nhất của A = \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)khi x = y = z = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra a = b = c = \(\sqrt 3 - 1\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một người dự định đi bộ quãng đường với vận tốc 5km/h nhưng khi đi được nửa đường thì nhờ được bạn đèo xe đạp đi tiếp với vận tốc 12km/h do đó đến sớm hơn dự định 28 phút. Hỏi người ấy đi hết toàn bộ quãng đường trong bao lâu ?
Một người dự định đi bộ quãng đường với vận tốc 5km/h nhưng khi đi được nửa đường thì nhờ được bạn đèo xe đạp đi tiếp với vận tốc 12km/h do đó đến sớm hơn dự định 28 phút. Hỏi người ấy đi hết toàn bộ quãng đường trong bao lâu ?
Xem đáp án »
08/06/2023
7,077
Câu 2:
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m, chiều dài tăng thêm 3m thì diện tích tăng 195 m2. Tính kích thước của mảnh đất?
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m, chiều dài tăng thêm 3m thì diện tích tăng 195 m2. Tính kích thước của mảnh đất?
Xem đáp án »
13/07/2024
6,454
Câu 4:
Một đội công nhân có 63 người nhận sửa xong một quãng đường trong 11 ngày. Hỏi muốn làm xong quãng đường đó trong 7 ngày thì cần thêm bao nhiêu người nữa ? (Mức làm của mỗi người như nhau).
Một đội công nhân có 63 người nhận sửa xong một quãng đường trong 11 ngày. Hỏi muốn làm xong quãng đường đó trong 7 ngày thì cần thêm bao nhiêu người nữa ? (Mức làm của mỗi người như nhau).
Xem đáp án »
08/06/2023
5,460
Câu 5:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó thu được 7 dư 6.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết số đó chia cho tổng các chữ số của nó thu được 7 dư 6.
Xem đáp án »
13/07/2024
4,444
Câu 6:
Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 = b4 + c4. Chứng minh rằng:
2sin2A = tan B.tan C
Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 = b4 + c4. Chứng minh rằng:
2sin2A = tan B.tan C
Xem đáp án »
13/07/2024
4,037
Câu 7:
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ DE và CF cùng vuông góc với đường thẳng AB ở E và F.
a) Chứng minh: A là trung điểm của EF.
b) Chứng minh: DF // CE.
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ DE và CF cùng vuông góc với đường thẳng AB ở E và F.
a) Chứng minh: A là trung điểm của EF.
b) Chứng minh: DF // CE.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,977
về câu hỏi!