Câu hỏi:

13/07/2024 903

Cho a, b, c > 0 biết (a + c)(b + c) = 4c². Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

A = \(\frac{a}{{b + 3c}} + \frac{b}{{a + 3c}} + \frac{{ab}}{{bc + ca}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

(a + c)(b + c) = 4c²

⇔ \(\left( {\frac{a}{c} + 1} \right)\left( {\frac{b}{c} + 1} \right) = 4\)

Đặt \(\left( {\frac{a}{c};\frac{b}{c}} \right)\)= \(\left( {x;y} \right)\)

Suy ra: xy + x + y = 3.

⇒ 3 ≤ x + y + \(\frac{1}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\)⇒ x + y ≥ 2.

A = \(\frac{x}{{y + 3}} + \frac{y}{{x + 3}} + \frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} \right)}}{{xy + 3\left( {x + y} \right) + 9}} + \frac{{xy}}{{x + y}}\)

= \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 3\left( {x + y} \right) - 2xy}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{{3 - \left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 5\left( {x + y} \right) - 6}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{3}{{x + y}} - 1\)

Đặt x + y = t ⇒ 2 ≤ t < 3.

Khi ấy: A = \(\frac{{{t^2} + 5t - 6}}{{2t + 12}} + \frac{3}{t} - 1 = \frac{t}{2} + \frac{3}{t} - \frac{1}{2} \ge 2\sqrt {\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\)

Giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\) khi t = \(\sqrt 6 \).

A = \(\frac{{{t^2} + 6}}{{2t}} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{2t}}} \right) + 2 = \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{2t}} + 2\)

Mà 2 ≤ t < 3 ⇒ (t – 2)(t – 3) ≤ 0.

Suy ra: A ≤ 2

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi t = 2.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \)

Để được số chia hết cho 5 thì c = 0 hoặc c = 5

Với c = 0 thì b có 9 cách chọn

a có 8 cách chọn

Vậy có: 8.9.1 = 72 (số)

+ Với c = 5, c có 1 cách chọn

Chữ số a có 8 cách chọn (vì a khác 0)

b có 8 cách chọn

Vậy có: 8.8.1 = 64 (số)

Vậy lập được: 72 + 64 = 136 (số).

Câu 2

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m, chiều dài tăng thêm 3m thì diện tích tăng 195 m². Tính kích thước của mảnh đất?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a;

Chiều dài hình chữ nhật là b (a,b>0)

Theo bài ta có phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + b} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}80}\\{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}195}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5a + 3b + 15\,\,{\rm{ = }}\,\,195}\end{array}} \right.\)

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5\left( {a + b} \right) - 2b\,\,{\rm{ = }}\,\,180}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{2b = 20}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3{\rm{0}}}\\{b = 10}\end{array}} \right.\]

Vậy chiều dài là 30m và chiều rộng là chiều rộng là 10m.

Kích thước mảnh đất là:

30 . 10 = 300 (m²).

Câu 3