Câu hỏi:

08/06/2023 33

Cho a, b, c > 0 biết (a + c)(b + c) = 4c2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

A = \(\frac{a}{{b + 3c}} + \frac{b}{{a + 3c}} + \frac{{ab}}{{bc + ca}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

(a + c)(b + c) = 4c2

\(\left( {\frac{a}{c} + 1} \right)\left( {\frac{b}{c} + 1} \right) = 4\)

Đặt \(\left( {\frac{a}{c};\frac{b}{c}} \right)\)= \(\left( {x;y} \right)\)

Suy ra: xy + x + y = 3.

3 ≤ x + y + \(\frac{1}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\) x + y ≥ 2.

A = \(\frac{x}{{y + 3}} + \frac{y}{{x + 3}} + \frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} \right)}}{{xy + 3\left( {x + y} \right) + 9}} + \frac{{xy}}{{x + y}}\)

= \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 3\left( {x + y} \right) - 2xy}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{{3 - \left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 5\left( {x + y} \right) - 6}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{3}{{x + y}} - 1\)

Đặt x + y = t 2 ≤ t < 3.

Khi ấy: A = \(\frac{{{t^2} + 5t - 6}}{{2t + 12}} + \frac{3}{t} - 1 = \frac{t}{2} + \frac{3}{t} - \frac{1}{2} \ge 2\sqrt {\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\)

Giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\) khi t = \(\sqrt 6 \).

A = \(\frac{{{t^2} + 6}}{{2t}} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{2t}}} \right) + 2 = \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{2t}} + 2\)

Mà 2 ≤ t < 3 (t – 2)(t – 3) ≤ 0.

Suy ra: A ≤ 2

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi t = 2.

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

So sánh \(\sqrt {2015} + \sqrt {2018} \)\(\sqrt {2016} + \sqrt {2017} \).

Xem đáp án » 08/06/2023 1,188

Câu 2:

Một người dự định đi bộ quãng đường với vận tốc 5km/h nhưng khi đi được nửa đường thì nhờ được bạn đèo xe đạp đi tiếp với vận tốc 12km/h do đó đến sớm hơn dự định 28 phút. Hỏi người ấy đi hết toàn bộ quãng đường trong bao lâu ?

Xem đáp án » 08/06/2023 574

Câu 3:

Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 = b4 + c4. Chứng minh rằng:

2sin2A = tan B.tan C

Xem đáp án » 08/06/2023 454

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A.Vẽ AK vuông góc BC (K thuộc BC). Trên tia đối của tia KA lấy điểm M sao cho KA = KM.

a) Chứng minh: ∆KAB = ∆KMB.

b) Trên tia KB lấy điểm D sao cho KD = KC. Tia MD cắt AB tại N. Chứng minh: MN vuông góc AB.

Xem đáp án » 08/06/2023 422

Câu 5:

Một đội công nhân có 63 người nhận sửa xong một quãng đường trong 11 ngày. Hỏi muốn làm xong quãng đường đó trong 7 ngày thì cần thêm bao nhiêu người nữa ? (Mức làm của mỗi người như nhau).

Xem đáp án » 08/06/2023 364

Câu 6:

Lan đi bộ vòng quanh sân vận động hết 15 phút, mỗi phút đi được 36 m. Biết chiều dài sân vận động hơn chiều rộng là 24 m. Tính diện tích sân vận động đó?

Xem đáp án » 08/06/2023 289

Câu 7:

Trên 1 thửa đất hình vuông người ta đào 1 cái ao hình vuông, cạnh ao song song với cạnh thửa đất và cách đều cạnh thửa đất. Chu vi thửa đất hơn chu vi ao là 40 m. Diện tích đất còn lại là 420m2. Tính diện tích ao.

Xem đáp án » 08/06/2023 284

Bình luận


Bình luận

TÀI LIỆU VIP VIETJACK