Câu hỏi:

13/07/2024 514

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng: \(\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}} \ge \sqrt 3 \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng (ảnh 1)

\[{\left( {\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}}} \right)^2} \ge 3\sqrt {\frac{{HA}}{{BC}}.\frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HB}}{{AC}}.\frac{{HC}}{{AB}} + \frac{{HC}}{{AB}}.\frac{{HA}}{{BC}}} \](*)

Xét tam giác HAE và tam giác CAD có:

Chung \(\widehat A\)

\(\widehat {CDA} = \widehat {AEH}\)

⇒ ∆HAE ᔕ ∆CAD (g.g)

⇒ \(\frac{{HA}}{{CA}} = \frac{{AE}}{{AD}}\)

⇒\(\frac{{HA.HB}}{{CA.CB}} = \frac{{AE.HB}}{{AD.CB}} = \frac{{{S_{AHB}}}}{{{S_{ABC}}}}\)(1)

Tương tự ta có:

\(\frac{{HB.HC}}{{AB.AC}} = \frac{{{S_{AHC}}}}{{{S_{ABC}}}}\)(2)

\(\frac{{HC.HA}}{{BC.BA}} = \frac{{{S_{BHC}}}}{{{S_{ABC}}}}\)(3)

Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:

\(\frac{{HA.HB}}{{CA.CB}} + \frac{{HB.HC}}{{AB.AC}} + \frac{{HC.HA}}{{BC.BA}} = \frac{{{S_{AHB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{AHC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{BHC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\)(**)

Từ (*) và (**) ta có: \[{\left( {\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}}} \right)^2} \ge 3\sqrt 1 = 3\]

Hay \(\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}} \ge \sqrt 3 \).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \)

Để được số chia hết cho 5 thì c = 0 hoặc c = 5

Với c = 0 thì b có 9 cách chọn

a có 8 cách chọn

Vậy có: 8.9.1 = 72 (số)

+ Với c = 5, c có 1 cách chọn

Chữ số a có 8 cách chọn (vì a khác 0)

b có 8 cách chọn

Vậy có: 8.8.1 = 64 (số)

Vậy lập được: 72 + 64 = 136 (số).

Câu 2

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m, chiều dài tăng thêm 3m thì diện tích tăng 195 m². Tính kích thước của mảnh đất?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a;

Chiều dài hình chữ nhật là b (a,b>0)

Theo bài ta có phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + b} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}80}\\{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}195}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5a + 3b + 15\,\,{\rm{ = }}\,\,195}\end{array}} \right.\)

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5\left( {a + b} \right) - 2b\,\,{\rm{ = }}\,\,180}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{2b = 20}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3{\rm{0}}}\\{b = 10}\end{array}} \right.\]

Vậy chiều dài là 30m và chiều rộng là chiều rộng là 10m.

Kích thước mảnh đất là:

30 . 10 = 300 (m²).

Câu 3