Câu hỏi:
13/07/2024 507
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: \(\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}} \ge \sqrt 3 \).
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: \(\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}} \ge \sqrt 3 \).
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:

\[{\left( {\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}}} \right)^2} \ge 3\sqrt {\frac{{HA}}{{BC}}.\frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HB}}{{AC}}.\frac{{HC}}{{AB}} + \frac{{HC}}{{AB}}.\frac{{HA}}{{BC}}} \](*)
Xét tam giác HAE và tam giác CAD có:
Chung \(\widehat A\)
\(\widehat {CDA} = \widehat {AEH}\)
⇒ ∆HAE ᔕ ∆CAD (g.g)
⇒ \(\frac{{HA}}{{CA}} = \frac{{AE}}{{AD}}\)
⇒\(\frac{{HA.HB}}{{CA.CB}} = \frac{{AE.HB}}{{AD.CB}} = \frac{{{S_{AHB}}}}{{{S_{ABC}}}}\)(1)
Tương tự ta có:
\(\frac{{HB.HC}}{{AB.AC}} = \frac{{{S_{AHC}}}}{{{S_{ABC}}}}\)(2)
\(\frac{{HC.HA}}{{BC.BA}} = \frac{{{S_{BHC}}}}{{{S_{ABC}}}}\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có:
\(\frac{{HA.HB}}{{CA.CB}} + \frac{{HB.HC}}{{AB.AC}} + \frac{{HC.HA}}{{BC.BA}} = \frac{{{S_{AHB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{AHC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{BHC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\)(**)
Từ (*) và (**) ta có: \[{\left( {\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}}} \right)^2} \ge 3\sqrt 1 = 3\]
Hay \(\frac{{HA}}{{BC}} + \frac{{HB}}{{AC}} + \frac{{HC}}{{AB}} \ge \sqrt 3 \).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \)
Để được số chia hết cho 5 thì c = 0 hoặc c = 5
Với c = 0 thì b có 9 cách chọn
a có 8 cách chọn
Vậy có: 8.9.1 = 72 (số)
+ Với c = 5, c có 1 cách chọn
Chữ số a có 8 cách chọn (vì a khác 0)
b có 8 cách chọn
Vậy có: 8.8.1 = 64 (số)
Vậy lập được: 72 + 64 = 136 (số).
Lời giải
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a;
Chiều dài hình chữ nhật là b (a,b>0)
Theo bài ta có phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + b} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}80}\\{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}195}\end{array}} \right.\)
⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5a + 3b + 15\,\,{\rm{ = }}\,\,195}\end{array}} \right.\)
⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5\left( {a + b} \right) - 2b\,\,{\rm{ = }}\,\,180}\end{array}} \right.\]
⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{2b = 20}\end{array}} \right.\]
⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3{\rm{0}}}\\{b = 10}\end{array}} \right.\]
Vậy chiều dài là 30m và chiều rộng là chiều rộng là 10m.
Kích thước mảnh đất là:
30 . 10 = 300 (m2).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.