Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của P=x+1y2+1+y+1z2+1+z+1x2+1.

Ta có: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0 ⇔ x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 ≥ 0 ⇔ 2x2 – 2xy + 2y2 – 2yz + 2z2 – 2xz ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz ⇔ (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz) ⇔xy+yz+xz≤x+y+z23=323=3 Ta có x+1y2+1=x+1.1y2+1=x+1.1−y2y2+1≥x+11−y22y=x+1−yx+12y+1z2+1=y+1.1z2+1=y+1.1−z2z2+1≥y+1.1−z22z=y+1−zy+12z+1x2+1=z+1.1x2+1=z+1.1−x2x2+1≥z+1.1−x22x=z+1−xz+12 Suy ra P≥x+1−yx+12+y+1−zy+12+z+1−xz+12 P≥x+y+z+3−yx+1+zy+1+xz+12 P≥6−x+y+z+xy+yz+xz2P≥6−3+32=3 Dấu “ = ” xảy ra khi x2 = y2 = z2 = 1 hay x = y = 1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.

Câu hỏi:

16/06/2023 185

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của $P = \frac{x + 1}{y^{2} + 1} + \frac{y + 1}{z^{2} + 1} + \frac{z + 1}{x^{2} + 1}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x² ≥ 0

⇔ 2x² – 2xy + 2y² – 2yz + 2z² – 2xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² – xy – yz – xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz

⇔ (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + xz)

\Leftrightarrow x y + y z + x z \leq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{3} = \frac{3^{2}}{3} = 3

Ta có

\frac{x + 1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . \frac{1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . (1 - \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}) \geq (x + 1) (1 - \frac{y^{2}}{2 y}) = x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2}

\frac{y + 1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . \frac{1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{z^{2} + 1}) \geq (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{2 z}) = y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2}

\frac{z + 1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . \frac{1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}) \geq (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{2 x}) = z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}

Suy ra $P \geq x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2} + y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2} + z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}$

P \geq x + y + z + 3 - \frac{y (x + 1) + z (y + 1) + x (z + 1)}{2}

P \geq 6 - \frac{(x + y + z) + (x y + y z + x z)}{2}

P \geq 6 - \frac{3 + 3}{2} = 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x² = y² = z² = 1 hay x = y = 1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong đợt khảo sát chất lượng, lớp 10C có 11 học sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 8 học sinh đạt điểm giỏi môn Lý, 5 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và Lý, 4 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và Hóa, 2 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Hóa và Lý, 1 học sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Hỏi lớp 10C có bao nhiêu học sinh đạt điểm giỏi môn Hóa, biết trong lớp có 16 học sinh giỏi ít nhất một môn?

A. 7;

B. 8;

C. 5;

D. 6.

Xem đáp án » 16/06/2023 5,314

Câu 2:

Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 789,25 m², chiều dài 38,5 m. Người ta muốn rào xung quanh vườn dài bao nhiêu mét, biết cửa vườn rộng 3,2 m.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,452

Câu 3:

Một kho chứa 246,75 tấn gạo. Người ta chuyển đến một số lượng gạo bằng $\frac{3}{5}$ số gạo hiện có của kho. Hỏi kho đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?

Xem đáp án » 13/07/2024 1,867

Câu 4:

Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm².

Xem đáp án » 13/07/2024 1,763

Câu 5:

Bỏ ngoặc rồi tính: – (12 + 21 – 23) – (23 – 21 + 10).

Xem đáp án » 13/07/2024 1,445

Câu 6:

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9?

Xem đáp án » 13/07/2024 1,386

Câu 7:

Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 2|.

Xem đáp án » 13/07/2024 1,300

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 73,711 lượt thi Thi thử
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 52,543 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 42,151 lượt thi Thi thử
200 Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 34,338 lượt thi Thi thử
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

98 đề 31,919 lượt thi Thi thử
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 31,675 lượt thi Thi thử
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án

86 đề 31,357 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 26,902 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 25,717 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 23,843 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của P=x+1y2+1+y+1z2+1+z+1x2+1.

Nhà sách VIETJACK:

Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 789,25 m2, chiều dài 38,5 m. Người ta muốn rào xung quanh vườn dài bao nhiêu mét, biết cửa vườn rộng 3,2 m.

Một kho chứa 246,75 tấn gạo. Người ta chuyển đến một số lượng gạo bằng 35 số gạo hiện có của kho. Hỏi kho đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?

Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm2.

Bỏ ngoặc rồi tính: – (12 + 21 – 23) – (23 – 21 + 10).

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9?

Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 2|.

Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 2|.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của $P = \frac{x + 1}{y^{2} + 1} + \frac{y + 1}{z^{2} + 1} + \frac{z + 1}{x^{2} + 1}$ .

Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 789,25 m², chiều dài 38,5 m. Người ta muốn rào xung quanh vườn dài bao nhiêu mét, biết cửa vườn rộng 3,2 m.

Một kho chứa 246,75 tấn gạo. Người ta chuyển đến một số lượng gạo bằng $\frac{3}{5}$ số gạo hiện có của kho. Hỏi kho đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?

Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm².