Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của P=x+1y2+1+y+1z2+1+z+1x2+1.

Ta có: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0 ⇔ x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 ≥ 0 ⇔ 2x2 – 2xy + 2y2 – 2yz + 2z2 – 2xz ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz ⇔ (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz) ⇔xy+yz+xz≤x+y+z23=323=3 Ta có x+1y2+1=x+1.1y2+1=x+1.1−y2y2+1≥x+11−y22y=x+1−yx+12y+1z2+1=y+1.1z2+1=y+1.1−z2z2+1≥y+1.1−z22z=y+1−zy+12z+1x2+1=z+1.1x2+1=z+1.1−x2x2+1≥z+1.1−x22x=z+1−xz+12 Suy ra P≥x+1−yx+12+y+1−zy+12+z+1−xz+12 P≥x+y+z+3−yx+1+zy+1+xz+12 P≥6−x+y+z+xy+yz+xz2P≥6−3+32=3 Dấu “ = ” xảy ra khi x2 = y2 = z2 = 1 hay x = y = 1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.

Câu hỏi:

16/06/2023 260

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của $P = \frac{x + 1}{y^{2} + 1} + \frac{y + 1}{z^{2} + 1} + \frac{z + 1}{x^{2} + 1}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x² ≥ 0

⇔ 2x² – 2xy + 2y² – 2yz + 2z² – 2xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² – xy – yz – xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz

⇔ (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + xz)

\Leftrightarrow x y + y z + x z \leq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{3} = \frac{3^{2}}{3} = 3

Ta có

\frac{x + 1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . \frac{1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . (1 - \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}) \geq (x + 1) (1 - \frac{y^{2}}{2 y}) = x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2}

\frac{y + 1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . \frac{1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{z^{2} + 1}) \geq (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{2 z}) = y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2}

\frac{z + 1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . \frac{1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}) \geq (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{2 x}) = z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}

Suy ra $P \geq x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2} + y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2} + z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}$

P \geq x + y + z + 3 - \frac{y (x + 1) + z (y + 1) + x (z + 1)}{2}

P \geq 6 - \frac{(x + y + z) + (x y + y z + x z)}{2}

P \geq 6 - \frac{3 + 3}{2} = 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x² = y² = z² = 1 hay x = y = 1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong đợt khảo sát chất lượng, lớp 10C có 11 học sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 8 học sinh đạt điểm giỏi môn Lý, 5 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và Lý, 4 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và Hóa, 2 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Hóa và Lý, 1 học sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Hỏi lớp 10C có bao nhiêu học sinh đạt điểm giỏi môn Hóa, biết trong lớp có 16 học sinh giỏi ít nhất một môn?

A. 7;

B. 8;

C. 5;

D. 6.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Trong đợt khảo sát chất lượng, lớp 10C có 11 học sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 8 học sinh đạt điểm giỏi môn Lý, 5 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và Lý, 4 học sinh (ảnh 1)

Dựa vào biểu đổ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 5 – 1 = 4 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 4 – 1 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Hóa và Lý (không giỏi Toán) là: 2 – 1 = 1 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 11 – 1 – 4 – 3 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 8 – 1 – 4 – 1 = 2 (em)

Mà số học sinh giỏi ít nhất một môn là 16 em

Suy ra số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 16 – 4 – 3 – 1 – 3 – 2 – 1 = 2 (em)

Khi đó số học sinh giỏi môn Hóa là: 3 + 1 + 1 + 2 = 7 (em)

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 2

Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 789,25 m², chiều dài 38,5 m. Người ta muốn rào xung quanh vườn dài bao nhiêu mét, biết cửa vườn rộng 3,2 m.

Xem đáp án

Lời giải

Chiều rộng vườn cây là:

789,25 : 38,5 = 20,5 (m)

Chu vi vườn cây là:

(38,5 + 20,5) × 2 = 118 (m)

Rào xung quanh vườn dài là:

118 – 3,2 = 114,8 (m)

Vậy rào xung quanh vườn dài 114,8 m.

Câu 3