Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của P=x+1y2+1+y+1z2+1+z+1x2+1.

Ta có: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0 ⇔ x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 ≥ 0 ⇔ 2x2 – 2xy + 2y2 – 2yz + 2z2 – 2xz ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz ⇔ (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz) ⇔xy+yz+xz≤x+y+z23=323=3 Ta có x+1y2+1=x+1.1y2+1=x+1.1−y2y2+1≥x+11−y22y=x+1−yx+12y+1z2+1=y+1.1z2+1=y+1.1−z2z2+1≥y+1.1−z22z=y+1−zy+12z+1x2+1=z+1.1x2+1=z+1.1−x2x2+1≥z+1.1−x22x=z+1−xz+12 Suy ra P≥x+1−yx+12+y+1−zy+12+z+1−xz+12 P≥x+y+z+3−yx+1+zy+1+xz+12 P≥6−x+y+z+xy+yz+xz2P≥6−3+32=3 Dấu “ = ” xảy ra khi x2 = y2 = z2 = 1 hay x = y = 1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.

Câu hỏi:

16/06/2023 200

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của $P = \frac{x + 1}{y^{2} + 1} + \frac{y + 1}{z^{2} + 1} + \frac{z + 1}{x^{2} + 1}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x² ≥ 0

⇔ 2x² – 2xy + 2y² – 2yz + 2z² – 2xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² – xy – yz – xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz

⇔ (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + xz)

\Leftrightarrow x y + y z + x z \leq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{3} = \frac{3^{2}}{3} = 3

Ta có

\frac{x + 1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . \frac{1}{y^{2} + 1} = (x + 1) . (1 - \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}) \geq (x + 1) (1 - \frac{y^{2}}{2 y}) = x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2}

\frac{y + 1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . \frac{1}{z^{2} + 1} = (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{z^{2} + 1}) \geq (y + 1) . (1 - \frac{z^{2}}{2 z}) = y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2}

\frac{z + 1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . \frac{1}{x^{2} + 1} = (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}) \geq (z + 1) . (1 - \frac{x^{2}}{2 x}) = z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}

Suy ra $P \geq x + 1 - \frac{y (x + 1)}{2} + y + 1 - \frac{z (y + 1)}{2} + z + 1 - \frac{x (z + 1)}{2}$

P \geq x + y + z + 3 - \frac{y (x + 1) + z (y + 1) + x (z + 1)}{2}

P \geq 6 - \frac{(x + y + z) + (x y + y z + x z)}{2}

P \geq 6 - \frac{3 + 3}{2} = 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x² = y² = z² = 1 hay x = y = 1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong đợt khảo sát chất lượng, lớp 10C có 11 học sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 8 học sinh đạt điểm giỏi môn Lý, 5 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và Lý, 4 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và Hóa, 2 học sinh đạt điểm giỏi cả môn Hóa và Lý, 1 học sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Hỏi lớp 10C có bao nhiêu học sinh đạt điểm giỏi môn Hóa, biết trong lớp có 16 học sinh giỏi ít nhất một môn?

A. 7;

B. 8;

C. 5;

D. 6.

Xem đáp án » 16/06/2023 6,249

Câu 2:

Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 789,25 m², chiều dài 38,5 m. Người ta muốn rào xung quanh vườn dài bao nhiêu mét, biết cửa vườn rộng 3,2 m.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,923

Câu 3:

Một kho chứa 246,75 tấn gạo. Người ta chuyển đến một số lượng gạo bằng $\frac{3}{5}$ số gạo hiện có của kho. Hỏi kho đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?

Xem đáp án » 13/07/2024 2,472

Câu 4:

Bỏ ngoặc rồi tính: – (12 + 21 – 23) – (23 – 21 + 10).

Xem đáp án » 13/07/2024 2,286

Câu 5:

Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm².

Xem đáp án » 13/07/2024 1,938

Câu 6:

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9?

Xem đáp án » 13/07/2024 1,542

Câu 7:

Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 2|.

Xem đáp án » 13/07/2024 1,369

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của P=x+1y2+1+y+1z2+1+z+1x2+1.

Nhà sách VIETJACK:

Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 789,25 m2, chiều dài 38,5 m. Người ta muốn rào xung quanh vườn dài bao nhiêu mét, biết cửa vườn rộng 3,2 m.

Một kho chứa 246,75 tấn gạo. Người ta chuyển đến một số lượng gạo bằng 35 số gạo hiện có của kho. Hỏi kho đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?

Bỏ ngoặc rồi tính: – (12 + 21 – 23) – (23 – 21 + 10).

Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm2.

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số chia hết cho 9?

Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 2|.

Vẽ đồ thị của hàm số y = |x – 2|.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của $P = \frac{x + 1}{y^{2} + 1} + \frac{y + 1}{z^{2} + 1} + \frac{z + 1}{x^{2} + 1}$ .

Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 789,25 m², chiều dài 38,5 m. Người ta muốn rào xung quanh vườn dài bao nhiêu mét, biết cửa vườn rộng 3,2 m.

Một kho chứa 246,75 tấn gạo. Người ta chuyển đến một số lượng gạo bằng $\frac{3}{5}$ số gạo hiện có của kho. Hỏi kho đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?

Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm².