Một trường học bán trú chuẩn bị số gạo cho 120 học sinh ăn trong 40 ngày. Sau khi ăn hết một nửa số gạo đó trường học có thêm một số học sinh mới nên số gạo còn lại chỉ đủ cho ăn trong 12 ngày nữa. Hỏi trường đó thêm bao nhiêu học sinh nữa?

Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:

a) ∆BAE = ∆CAD;

b) ∆MDC cân;

c) HK = HC.

Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và phải có mặt các chữ số 1, 2, 3 sao cho chúng không đứng cạnh nhau?

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}\).

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để bất phương trình x² – 2mx + 5m – 8 ≤ 0 có tập nghiệm là [a; b] sao cho b – a = 4. Tổng tất cả các phần tử của S là

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?

c) Cho AC = 6 cm, BD = 8 cm. Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ.