Câu hỏi:
30/06/2023 3,789Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.
Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó \(2\widehat {AOC} = 2\widehat {COM} = \widehat {AOM}\).
Chứng minh tương tự, ta được \(2\widehat {MOD} = 2\widehat {DOB} = \widehat {MOB}\).
Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (kề bù).
Suy ra \(2\widehat {COM} + 2\widehat {MOD} = 180^\circ \).
Khi đó \(2\left( {\widehat {COM} + \widehat {MOD}} \right) = 180^\circ \).
Vì vậy \(\widehat {COD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).
Vậy tam giác COD vuông tại O.
b) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.
Suy ra AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Chứng minh tương tự, ta được DM = BD.
Ta có CD là tiếp tuyến của (O) có M là tiếp điểm. Suy ra OM ⊥ CD.
Tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao: OM2 = CM.DM.
⇔ R2 = AC.BD.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) Gọi I là giao điểm của MH và BC, K là giao điểm của MB và AC.
Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến DM, DB cắt nhau tại D.
Suy ra DM = DB.
Lại có OM = OB = R.
Suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.
Do đó OD ⊥ MB.
Mà OD ⊥ OC (tam giác COD vuông tại O).
Suy ra MB // OC.
Mà O là trung điểm AB (đường tròn (O) có AB là đường kính).
Do đó OC là đường trung bình của tam giác ABK.
Vì vậy C là trung điểm AK.
Ta có MH ⊥ AB (giả thiết) và AK ⊥ AB (do AK là tiếp tuyến của (O) tại A).
Suy ra MH // AK.
Áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{MI}}{{CK}} = \frac{{IH}}{{AC}} = \frac{{BI}}{{BC}}\).
Mà CK = CA (C là trung điểm AK).
Suy ra MI = IH.
Do đó I là trung điểm của MH.
Vậy BC đi qua trung điểm I của đoạn MH.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SB với đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC tính theo a.
Câu 3:
Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Câu 4:
Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và đường thẳng (d’): y = (m + 1)x + 5 (m là tham số, m ≠ –1).
a) Vẽ đường thẳng (d) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
c) Tìm m để hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.
Câu 5:
Mức lương của công nhân tăng 20%, giá mua hàng giảm 20%. Hỏi với mức lương này thì lượng hàng mới sẽ mua được nhiều hơn lượng hàng cũ bao nhiêu phần trăm?
Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại B, đường trung tuyến BM, đường cao BH. Lấy E đối xứng với B qua M.
a) Chứng minh tứ giác ABCE là hình chữ nhật.
b) Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại D, cắt BH tại I. Chứng minh tứ giác ACDE là hình bình hành.
c) Chứng minh EI // AM.
d) Chứng minh tứ giác AIEC là hình thang cân.
e) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để ABCE là hình vuông?
về câu hỏi!