Câu hỏi:
30/06/2023 1,600Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có \(\widehat {OAB} = 90^\circ \) (do AB là tiếp tuyến của (O)).
Xét ∆ABO và ∆CBO, có:
OB chung;
AB = BC (giả thiết);
OA = OC (= R).
Do đó ∆ABO = ∆CBO (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {OCB} = \widehat {OAB} = 90^\circ \).
Vậy CB là tiếp tuyến của (O).
b) Gọi N là giao điểm của OB và (O).
Ta có \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC}\) (∆ABO = ∆CBO).
Suy ra sđ = sđ.
Lại có \(\widehat {AOB}\) = sđ và \(\widehat {ODC} = \frac{1}{2}\)sđ = sđ.
Do đó \(\widehat {AOB} = \widehat {ODC}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Vậy CD // OB.
Xét ∆OBC và ∆DCK, có:
\(\widehat {BOC} = \widehat {KDC}\,\,\left( { = \widehat {OCD}} \right)\);
\(\widehat {OCB} = \widehat {CKD} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BC}}{{CK}} = \frac{{OB}}{{CD}}\).
Vậy BC.CD = CK.OB.
c) Ta có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEF.
Suy ra EI là tia phân giác của \(\widehat {BEF}\).
Do đó \(\widehat {IEF} = \frac{1}{2}\widehat {BEF}\) (1)
Tứ giác EAOM, có: \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \) (AE, ME là tiếp tuyến của (O)).
Suy ra \(\widehat {EAO} + \widehat {EMO} = 180^\circ \).
Do đó tứ giác EAOM nội tiếp đường tròn đường kính OE.
Vì vậy \(\widehat {BEF} = \widehat {AOM}\) (2)
Đường tròn (O; R), có: \(\widehat {AOM}\) là góc ở tâm chắn và \(\widehat {MCA}\) là góc nội tiếp chắn .
Suy ra \(\widehat {AOM} = 2\widehat {MCA}\) (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra \(\widehat {IEF} = \widehat {MCA}\).
Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {IFE} = \widehat {MAC}\).
Xét ∆MAC và ∆IFE, có:
\(\widehat {IEF} = \widehat {MCA}\) (chứng minh trên);
\(\widehat {IFE} = \widehat {MAC}\) (chứng minh trên).
Vậy (g.g).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Câu 2:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SB với đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC tính theo a.
Câu 4:
Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và đường thẳng (d’): y = (m + 1)x + 5 (m là tham số, m ≠ –1).
a) Vẽ đường thẳng (d) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
c) Tìm m để hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.
Câu 5:
Mức lương của công nhân tăng 20%, giá mua hàng giảm 20%. Hỏi với mức lương này thì lượng hàng mới sẽ mua được nhiều hơn lượng hàng cũ bao nhiêu phần trăm?
Câu 6:
Cho tam giác ABC vuông tại B, đường trung tuyến BM, đường cao BH. Lấy E đối xứng với B qua M.
a) Chứng minh tứ giác ABCE là hình chữ nhật.
b) Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại D, cắt BH tại I. Chứng minh tứ giác ACDE là hình bình hành.
c) Chứng minh EI // AM.
d) Chứng minh tứ giác AIEC là hình thang cân.
e) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để ABCE là hình vuông?
về câu hỏi!