Câu hỏi:
30/06/2023 16,300
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì D thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \).
Suy ra BD ⊥ AC.
Ta có AB là tiếp tuyến của (O), với B là tiếp điểm.
Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).
Tam giác ABC vuông tại B có BD là đường cao: AB2 = AD.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC (do BC là đường kính của (O)) và OH // CE (giả thiết).
Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BEC.
Vậy H là trung điểm của BE.
Vì E thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \).
Suy ra BE ⊥ CE.
Mà CE // OH (giả thiết).
Do đó OH ⊥ BE hay AH ⊥ BE.
Tam giác ABE có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.
Suy ra tam giác ABE cân tại A.
Do đó AB = AE.
Xét ∆ABO và ∆AEO, có:
AO chung;
AB = AE (chứng minh trên);
OB = OE (= R).
Do đó ∆ABO = ∆AEO (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {AEO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).
Vậy AE là tiếp tuyến của (O).
c) Tam giác OBA vuông tại B có BH là đường cao: OB2 = OH.OA (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Suy ra OC2 = OH.OA.
Xét ∆OHC và ∆OCA, có:
\(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OA}}\) (OC2 = OH.OA);
\(\widehat {COH}\) chung.
Do đó (c.g.c).
Vậy \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\) (cặp góc tương ứng).
d) Ta có \(\widehat {OCF} = \widehat {FCE}\,\,\left( { = \widehat {OFC}} \right)\).
Lại có \(\widehat {OCH} = \widehat {ACE}\,\,\left( { = \widehat {OAC}} \right)\).
Suy ra \(\widehat {HCF} = \widehat {FCA}\).
Khi đó CF là tia phân giác của \(\widehat {HCA}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác HCA, ta được: \(\frac{{HF}}{{FA}} = \frac{{HC}}{{CA}}\).
Vậy FA.CH = HF.CA (điều phải chứng minh).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.
Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó \(2\widehat {AOC} = 2\widehat {COM} = \widehat {AOM}\).
Chứng minh tương tự, ta được \(2\widehat {MOD} = 2\widehat {DOB} = \widehat {MOB}\).
Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (kề bù).
Suy ra \(2\widehat {COM} + 2\widehat {MOD} = 180^\circ \).
Khi đó \(2\left( {\widehat {COM} + \widehat {MOD}} \right) = 180^\circ \).
Vì vậy \(\widehat {COD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).
Vậy tam giác COD vuông tại O.
b) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.
Suy ra AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Chứng minh tương tự, ta được DM = BD.
Ta có CD là tiếp tuyến của (O) có M là tiếp điểm. Suy ra OM ⊥ CD.
Tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao: OM2 = CM.DM.
⇔ R2 = AC.BD.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) Gọi I là giao điểm của MH và BC, K là giao điểm của MB và AC.
Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến DM, DB cắt nhau tại D.
Suy ra DM = DB.
Lại có OM = OB = R.
Suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.
Do đó OD ⊥ MB.
Mà OD ⊥ OC (tam giác COD vuông tại O).
Suy ra MB // OC.
Mà O là trung điểm AB (đường tròn (O) có AB là đường kính).
Do đó OC là đường trung bình của tam giác ABK.
Vì vậy C là trung điểm AK.
Ta có MH ⊥ AB (giả thiết) và AK ⊥ AB (do AK là tiếp tuyến của (O) tại A).
Suy ra MH // AK.
Áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{MI}}{{CK}} = \frac{{IH}}{{AC}} = \frac{{BI}}{{BC}}\).
Mà CK = CA (C là trung điểm AK).
Suy ra MI = IH.
Do đó I là trung điểm của MH.
Vậy BC đi qua trung điểm I của đoạn MH.
Lời giải
Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \) (a, b, c ∈ ℕ, 0 ≤ a, b, c ≤ 9 và a ≠ 0).
Theo đề, ta có khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó thì nó tăng 4106 đơn vị.
Nghĩa là, \(\overline {abc2} = \overline {abc} + 4106\).
\( \Rightarrow \overline {abc} \times 10 + 2 = \overline {abc} + 4106\).
\( \Rightarrow \overline {abc} \times 9 = 4104\).
\[ \Rightarrow \overline {abc} = 4104:9 = 456\].
Vậy số cần tìm là 456.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
Nhắn tin Zalo