Câu hỏi:
30/06/2023 9,209
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì D thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \).
Suy ra BD ⊥ AC.
Ta có AB là tiếp tuyến của (O), với B là tiếp điểm.
Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).
Tam giác ABC vuông tại B có BD là đường cao: AB2 = AD.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC (do BC là đường kính của (O)) và OH // CE (giả thiết).
Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BEC.
Vậy H là trung điểm của BE.
Vì E thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \).
Suy ra BE ⊥ CE.
Mà CE // OH (giả thiết).
Do đó OH ⊥ BE hay AH ⊥ BE.
Tam giác ABE có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.
Suy ra tam giác ABE cân tại A.
Do đó AB = AE.
Xét ∆ABO và ∆AEO, có:
AO chung;
AB = AE (chứng minh trên);
OB = OE (= R).
Do đó ∆ABO = ∆AEO (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {AEO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).
Vậy AE là tiếp tuyến của (O).
c) Tam giác OBA vuông tại B có BH là đường cao: OB2 = OH.OA (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Suy ra OC2 = OH.OA.
Xét ∆OHC và ∆OCA, có:
\(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OA}}\) (OC2 = OH.OA);
\(\widehat {COH}\) chung.
Do đó (c.g.c).
Vậy \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\) (cặp góc tương ứng).
d) Ta có \(\widehat {OCF} = \widehat {FCE}\,\,\left( { = \widehat {OFC}} \right)\).
Lại có \(\widehat {OCH} = \widehat {ACE}\,\,\left( { = \widehat {OAC}} \right)\).
Suy ra \(\widehat {HCF} = \widehat {FCA}\).
Khi đó CF là tia phân giác của \(\widehat {HCA}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác HCA, ta được: \(\frac{{HF}}{{FA}} = \frac{{HC}}{{CA}}\).
Vậy FA.CH = HF.CA (điều phải chứng minh).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Xem đáp án »
30/06/2023
8,991
Câu 2:
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó thì nó tăng 4106 đơn vị.
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó thì nó tăng 4106 đơn vị.
Xem đáp án »
30/06/2023
5,724
Câu 3:
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thỏa mãn \[\frac{{a + b}}{6} = \frac{{b + c}}{5} = \frac{{c + a}}{7}\]. Tính giá trị của biểu thức T = cosA + 2cosB + 3cosC.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thỏa mãn \[\frac{{a + b}}{6} = \frac{{b + c}}{5} = \frac{{c + a}}{7}\]. Tính giá trị của biểu thức T = cosA + 2cosB + 3cosC.
Xem đáp án »
30/06/2023
3,177
Câu 4:
Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Xem đáp án »
30/06/2023
2,581
Câu 6:
Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
a) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\) và \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).
b) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IN}}{{IQ}}\).
Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.
a) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\) và \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).
b) Chứng minh \(\frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IN}}{{IQ}}\).
Xem đáp án »
30/06/2023
2,199
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!