Câu hỏi:

30/06/2023 3,596

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \)\(\widehat {ASB} = 60^\circ \). Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Đáp án chính xác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm (ảnh 1)

Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tam giác SAB.

Gọi M là trung điểm của AB và O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có JM AB và IM AB.

Mà (SAB) (ABCD).

Do đó IM JM     (1)

Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Suy ra OI (ABCD).

Do đó OI IM      (2)

Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Suy ra OJ (SAB).

Do đó OJ JM     (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra bốn điểm O, J, M, I đồng phẳng và tứ giác OJMI là hình chữ nhật (do có 3 góc ở đỉnh là góc vuông).

Gọi R, Rb lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Áp dụng định lí Pytago, ta được: \(I{A^2} = \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2} + A{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + 3{a^2}}}{4} = {a^2}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác SAB, ta được: \({R_b} = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ASB}}} = \frac{a}{{2.\sin 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(R = SO = \sqrt {S{J^2} + O{J^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{M^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - A{M^2}} \).

\( = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Vậy diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{13\pi {a^2}}}{3}\).

Do đó ta chọn phương án B.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \). Tia phân giác của \(\widehat D\) qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:

a) AB = 2AD.

b) DI = 2AH.

c) AC vuông góc với AD.

Xem đáp án » 30/06/2023 6,976

Câu 2:

Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.

Xem đáp án » 30/06/2023 5,007

Câu 3:

Trong vườn có 12 cây cam và 28 cây chanh. Tìm tỉ số phần trăm số cây cam so với tổng số cây trong vườn.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,655

Câu 4:

Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.

b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.

d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,566

Câu 5:

Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,486

Câu 6:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.

1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).

2) Chứng minh BH.BE = CD2.

3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .

4) Tính diện tích tam giác BHF.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,101
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua