Câu hỏi:
30/06/2023 2,602
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ASB} = 60^\circ \). Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ASB} = 60^\circ \). Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tam giác SAB.
Gọi M là trung điểm của AB và O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có JM ⊥ AB và IM ⊥ AB.
Mà (SAB) ⊥ (ABCD).
Do đó IM ⊥ JM (1)
Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Suy ra OI ⊥ (ABCD).
Do đó OI ⊥ IM (2)
Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Suy ra OJ ⊥ (SAB).
Do đó OJ ⊥ JM (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra bốn điểm O, J, M, I đồng phẳng và tứ giác OJMI là hình chữ nhật (do có 3 góc ở đỉnh là góc vuông).
Gọi R, Rb lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
Áp dụng định lí Pytago, ta được: \(I{A^2} = \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2} + A{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + 3{a^2}}}{4} = {a^2}\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác SAB, ta được: \({R_b} = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ASB}}} = \frac{a}{{2.\sin 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(R = SO = \sqrt {S{J^2} + O{J^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{M^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - A{M^2}} \).
\( = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).
Vậy diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{13\pi {a^2}}}{3}\).
Do đó ta chọn phương án B.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \). Tia phân giác của \(\widehat D\) qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:
a) AB = 2AD.
b) DI = 2AH.
c) AC vuông góc với AD.
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \). Tia phân giác của \(\widehat D\) qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:
a) AB = 2AD.
b) DI = 2AH.
c) AC vuông góc với AD.
Xem đáp án »
30/06/2023
5,625
Câu 2:
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Xem đáp án »
30/06/2023
4,247
Câu 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Xem đáp án »
30/06/2023
3,677
Câu 4:
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Xem đáp án »
30/06/2023
3,158
Câu 5:
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Xem đáp án »
30/06/2023
1,916
Câu 6:
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Xem đáp án »
30/06/2023
1,672
về câu hỏi!