Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ASB} = 60^\circ \). Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tam giác SAB.

Gọi M là trung điểm của AB và O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có JM ⊥ AB và IM ⊥ AB.

Mà (SAB) ⊥ (ABCD).

Do đó IM ⊥ JM     (1)

Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Suy ra OI ⊥ (ABCD).

Do đó OI ⊥ IM      (2)

Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Suy ra OJ ⊥ (SAB).

Do đó OJ ⊥ JM     (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra bốn điểm O, J, M, I đồng phẳng và tứ giác OJMI là hình chữ nhật (do có 3 góc ở đỉnh là góc vuông).

Gọi R, R_b lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Áp dụng định lí Pytago, ta được: \(I{A^2} = \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2} + A{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + 3{a^2}}}{4} = {a^2}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác SAB, ta được: \({R_b} = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ASB}}} = \frac{a}{{2.\sin 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(R = SO = \sqrt {S{J^2} + O{J^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{M^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - A{M^2}} \).

\( = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Vậy diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{13\pi {a^2}}}{3}\).

Do đó ta chọn phương án B.