Câu hỏi:

30/06/2023 4,508

Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.

b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.

d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (ảnh 1)

a) Ta có AC là tiếp tuyến của (O). Suy ra AC ⊥ AB (1)

Chứng minh tương tự, ta được BD ⊥ AB (2)

Từ (1), (2), suy ra AC // BD và $\widehat {BAC} = 90^\circ$ .

Vậy ABDC là hình thang vuông.

b) Ta có MD, MB là hai tiếp tuyến của (O).

Suy ra MD = MB.

Do đó D thuộc đường trung trực của đoạn MB (3)

Lại có OB = OM = R.

Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn MB (4)

Từ (3), (4), suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.

Vậy OD ⊥ MB tại N.

Ta có $\widehat {AEB} = 90^\circ$ và $\widehat {AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Tam giác ABD vuông tại B có BE là đường cao: BD² = DE.DA (5)

Tam giác BDO vuông tại B có BN là đường cao: BD² = DN.DO (6)

Từ (5), (6), ta thu được DE.DA = DN.DO.

c) Xét ∆AOF và ∆OBD, có:

$\widehat {AOF} = \widehat {OBD} = 90^\circ$ ;

AO = OB (= R);

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{O_1}}$ (cùng phụ với $\widehat {ABM}$ ).

Do đó ∆AOF = ∆OBD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra OF = BD (cặp cạnh tương ứng).

Mà OF // BD (cùng vuông góc với AB).

Do đó OFDB là hình bình hành.

Mà $\widehat {OBD} = 90^\circ$ .

Vậy OFDB là hình chữ nhật.

d) Ta có AM = OM = OA = R.

Suy ra tam giác OAM đều.

Do đó $\widehat {DBM} = \widehat {{A_1}} = 60^\circ$ (cùng phụ với $\widehat {ABM}$ ) và DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra tam giác MBD đều.

Khi đó DB = MB.

Tam giác ABM vuông tại M: $MB = \sqrt {A{B^2} - A{M^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3$ .

Ta có CA = CM và CO là tia phân giác của $\widehat {ACM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra tam giác ACM cân tại C có CO là vừa là đường phân giác, vừa là đường cao.

Gọi K là giao điểm của CO và AM. Suy ra K là trung điểm của AM và CK ⊥ AK.

Ta có $\widehat {CAK} = 90^\circ - \widehat {KAO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ .

Tam giác AKC vuông tại K: $AC = \frac{{AK}}{{\cos \widehat {CAK}}} = \frac{{AM}}{{2.\cos \widehat {CAK}}} = \frac{R}{{2.\cos 30^\circ }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}$ .

Khi đó ${S_{ABDC}} = \frac{{\left( {AC + BD} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {AC + MB} \right).AB}}{2}$ .

$= \frac{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }} + R\sqrt 3 } \right).2R}}{2} = \frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}$ .

Vậy diện tích tứ giác ABDC bằng $\frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách - 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 Vietjack theo chương trình mới cho 2k7

Đã bán 1,3k

₫ 36.000 ₫ 18.000

Hà Nội

Sách - 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Dành cho ôn thi THPT 2025) VietJack

Đã bán 187

₫ 135.000 ₫ 38.500

Hà Nội

Combo - Sổ tay Lý thuyết trọng tâm lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL

Đã bán 1,5k

₫ 70.000 ₫ 36.000

Hà Nội

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Đã bán 1,4k

₫ 280.000 ₫ 150.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat A = 120^\circ$ . Tia phân giác của $\widehat D$ qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:

a) AB = 2AD.

b) DI = 2AH.

c) AC vuông góc với AD.

Xem đáp án » 30/06/2023 6,948

Câu 2:

Cho $\cos a = \frac{4}{5}$ và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,986

Câu 3:

Trong vườn có 12 cây cam và 28 cây chanh. Tìm tỉ số phần trăm số cây cam so với tổng số cây trong vườn.

A. 42,85%.

B. 30%.

C. 70%.

D. 233,33%.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,402

Câu 4:

Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax² + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,363

Câu 5:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.

1) Tính AC, BH, $\widehat {BAC}$ .

2) Chứng minh BH.BE = CD².

3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .

4) Tính diện tích tam giác BHF.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,056

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, $AD = a\sqrt 3$ và $\widehat {ASB} = 60^\circ$ . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $S = \frac{{13\pi {a^2}}}{2}$ .

B. $S = \frac{{13\pi {a^2}}}{3}$ .

C. $S = \frac{{11\pi {a^2}}}{2}$ .

D. $S = \frac{{11\pi {a^2}}}{3}$ .

Xem đáp án » 30/06/2023 3,488

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình bình hành ABCD có ˆA=120∘\widehat A = 120^\circ . Tia phân giác của ˆD\widehat D qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng: a) AB = 2AD. b) DI = 2AH. c) AC vuông góc với AD.

Cho cosa=45\cos a = \frac{4}{5} và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.

Trong vườn có 12 cây cam và 28 cây chanh. Tìm tỉ số phần trăm số cây cam so với tổng số cây trong vườn.

Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E. 1) Tính AC, BH, ^BAC\widehat {BAC}. 2) Chứng minh BH.BE = CD2. 3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh . 4) Tính diện tích tam giác BHF.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, AD=a√3AD = a\sqrt 3 và ^ASB=60∘\widehat {ASB} = 60^\circ . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat A = 120^\circ$ . Tia phân giác của $\widehat D$ qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:

a) AB = 2AD.

b) DI = 2AH.

c) AC vuông góc với AD.

Cho $\cos a = \frac{4}{5}$ và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.

Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax² + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.

1) Tính AC, BH, $\widehat {BAC}$ .

2) Chứng minh BH.BE = CD².

3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .

4) Tính diện tích tam giác BHF.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, $AD = a\sqrt 3$ và $\widehat {ASB} = 60^\circ$ . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.