Câu hỏi:
30/06/2023 3,846
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có AC là tiếp tuyến của (O). Suy ra AC ⊥ AB (1)
Chứng minh tương tự, ta được BD ⊥ AB (2)
Từ (1), (2), suy ra AC // BD và \[\widehat {BAC} = 90^\circ \].
Vậy ABDC là hình thang vuông.
b) Ta có MD, MB là hai tiếp tuyến của (O).
Suy ra MD = MB.
Do đó D thuộc đường trung trực của đoạn MB (3)
Lại có OB = OM = R.
Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn MB (4)
Từ (3), (4), suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.
Vậy OD ⊥ MB tại N.
Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Tam giác ABD vuông tại B có BE là đường cao: BD2 = DE.DA (5)
Tam giác BDO vuông tại B có BN là đường cao: BD2 = DN.DO (6)
Từ (5), (6), ta thu được DE.DA = DN.DO.
c) Xét ∆AOF và ∆OBD, có:
\(\widehat {AOF} = \widehat {OBD} = 90^\circ \);
AO = OB (= R);
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{O_1}}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABM}\)).
Do đó ∆AOF = ∆OBD (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra OF = BD (cặp cạnh tương ứng).
Mà OF // BD (cùng vuông góc với AB).
Do đó OFDB là hình bình hành.
Mà \[\widehat {OBD} = 90^\circ \].
Vậy OFDB là hình chữ nhật.
d) Ta có AM = OM = OA = R.
Suy ra tam giác OAM đều.
Do đó \(\widehat {DBM} = \widehat {{A_1}} = 60^\circ \) (cùng phụ với \(\widehat {ABM}\)) và DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra tam giác MBD đều.
Khi đó DB = MB.
Tam giác ABM vuông tại M: \[MB = \sqrt {A{B^2} - A{M^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \].
Ta có CA = CM và CO là tia phân giác của \(\widehat {ACM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra tam giác ACM cân tại C có CO là vừa là đường phân giác, vừa là đường cao.
Gọi K là giao điểm của CO và AM. Suy ra K là trung điểm của AM và CK ⊥ AK.
Ta có \(\widehat {CAK} = 90^\circ - \widehat {KAO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Tam giác AKC vuông tại K: \[AC = \frac{{AK}}{{\cos \widehat {CAK}}} = \frac{{AM}}{{2.\cos \widehat {CAK}}} = \frac{R}{{2.\cos 30^\circ }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\].
Khi đó \[{S_{ABDC}} = \frac{{\left( {AC + BD} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {AC + MB} \right).AB}}{2}\].
\[ = \frac{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }} + R\sqrt 3 } \right).2R}}{2} = \frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\].
Vậy diện tích tứ giác ABDC bằng \[\frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \). Tia phân giác của \(\widehat D\) qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:
a) AB = 2AD.
b) DI = 2AH.
c) AC vuông góc với AD.
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \). Tia phân giác của \(\widehat D\) qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:
a) AB = 2AD.
b) DI = 2AH.
c) AC vuông góc với AD.
Xem đáp án »
30/06/2023
6,146
Câu 2:
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Xem đáp án »
30/06/2023
4,537
Câu 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Xem đáp án »
30/06/2023
3,757
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ASB} = 60^\circ \). Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ASB} = 60^\circ \). Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xem đáp án »
30/06/2023
2,761
Câu 5:
Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.
Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.
Xem đáp án »
30/06/2023
2,061
Câu 6:
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Xem đáp án »
30/06/2023
2,042
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!