Câu hỏi:

30/06/2023 4,448

Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.

b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.

d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB  (ảnh 1)

a) Ta có AC là tiếp tuyến của (O). Suy ra AC AB   (1)

Chứng minh tương tự, ta được BD AB   (2)

Từ (1), (2), suy ra AC // BD và \[\widehat {BAC} = 90^\circ \].

Vậy ABDC là hình thang vuông.

b) Ta có MD, MB là hai tiếp tuyến của (O).

Suy ra MD = MB.

Do đó D thuộc đường trung trực của đoạn MB      (3)

Lại có OB = OM = R.

Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn MB      (4)

Từ (3), (4), suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.

Vậy OD MB tại N.

Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \)\(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Tam giác ABD vuông tại B có BE là đường cao: BD2 = DE.DA          (5)

Tam giác BDO vuông tại B có BN là đường cao: BD2 = DN.DO         (6)

Từ (5), (6), ta thu được DE.DA = DN.DO.

c) Xét ∆AOF và ∆OBD, có:

\(\widehat {AOF} = \widehat {OBD} = 90^\circ \);

AO = OB (= R);

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{O_1}}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABM}\)).

Do đó ∆AOF = ∆OBD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra OF = BD (cặp cạnh tương ứng).

Mà OF // BD (cùng vuông góc với AB).

Do đó OFDB là hình bình hành.

\[\widehat {OBD} = 90^\circ \].

Vậy OFDB là hình chữ nhật.

d) Ta có AM = OM = OA = R.

Suy ra tam giác OAM đều.

Do đó \(\widehat {DBM} = \widehat {{A_1}} = 60^\circ \) (cùng phụ với \(\widehat {ABM}\)) và DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra tam giác MBD đều.

Khi đó DB = MB.

Tam giác ABM vuông tại M: \[MB = \sqrt {A{B^2} - A{M^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \].

Ta có CA = CM và CO là tia phân giác của \(\widehat {ACM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra tam giác ACM cân tại C có CO là vừa là đường phân giác, vừa là đường cao.

Gọi K là giao điểm của CO và AM. Suy ra K là trung điểm của AM và CK AK.

Ta có \(\widehat {CAK} = 90^\circ - \widehat {KAO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Tam giác AKC vuông tại K: \[AC = \frac{{AK}}{{\cos \widehat {CAK}}} = \frac{{AM}}{{2.\cos \widehat {CAK}}} = \frac{R}{{2.\cos 30^\circ }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\].

Khi đó \[{S_{ABDC}} = \frac{{\left( {AC + BD} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {AC + MB} \right).AB}}{2}\].

\[ = \frac{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }} + R\sqrt 3 } \right).2R}}{2} = \frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\].

Vậy diện tích tứ giác ABDC bằng \[\frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\].

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 120^\circ \). Tia phân giác của \(\widehat D\) qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:

a) AB = 2AD.

b) DI = 2AH.

c) AC vuông góc với AD.

Xem đáp án » 30/06/2023 6,845

Câu 2:

Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,959

Câu 3:

Trong vườn có 12 cây cam và 28 cây chanh. Tìm tỉ số phần trăm số cây cam so với tổng số cây trong vườn.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,193

Câu 4:

Tìm a, b, c để đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là đường parabol có đỉnh I(3; 4), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –1.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,182

Câu 5:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.

1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).

2) Chứng minh BH.BE = CD2.

3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .

4) Tính diện tích tam giác BHF.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,011

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \)\(\widehat {ASB} = 60^\circ \). Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Xem đáp án » 30/06/2023 3,415