Câu hỏi:

30/06/2023 4,276

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.

1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).

2) Chứng minh BH.BE = CD2.

3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .

4) Tính diện tích tam giác BHF.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC (ảnh 1)

1) Tam giác ABC vuông tại B (do ABCD là hình chữ nhật) có BH là đường cao:

AC2 = AB2 + BC2 (Định lí Pythagore).

= 42 + 32 = 25.

Suy ra AC = 5 (cm).

\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

          \( = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{25}}{{144}}\).

Suy ra \(B{H^2} = \frac{{144}}{{25}}\).

Khi đó \(BH = \frac{{12}}{5}\) (cm).

\(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{3}{4}\). Suy ra \(\widehat {BAC} \approx 36^\circ 52'\).

Vậy AC = 5 cm; \(BH = \frac{{12}}{5}\) cm và \(\widehat {BAC} \approx 36^\circ 52'\).

2) Ta có AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật).

Tam giác ABE vuông tại A có AH là đường cao:

AB2 = BH.BE (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy BH.BE = CD2 (điều phải chứng minh).

3) Xét ∆BHC và ∆BFE, có:

\(\widehat {HBC}\) chung;

\(\widehat {BHC} = \widehat {BFE} = 90^\circ \).

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{BH}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BE}}\).

Xét ∆BHF và ∆BCE, có:

\(\widehat {HBC}\) chung;

\(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BE}}\) (do \(\frac{{BH}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BE}}\)).

Vậy  (c.g.c).

4) Ta có CDEF là hình chữ nhật (do \(\widehat {CDE} = \widehat {DCF} = \widehat {CFE} = 90^\circ \)).

Suy ra EF = CD = AB = 4 (cm).

\(\frac{{BH}}{{BF}} = \frac{{BC}}{{BE}}\) nên BC.BF = BH.BE = CD2 = AB2 = 16 (cm).

Suy ra \(BF = \frac{{16}}{{BC}} = \frac{{16}}{3}\) (cm).

Khi đó \({S_{\Delta BFE}} = \frac{1}{2}BF.EF = \frac{1}{2}.\frac{{16}}{3}.4 = \frac{{32}}{3}\) (cm2).

Tam giác BFE vuông tại F: BE2 = BF2 + EF2 (Định lí Pythagore).

Suy ra \[BE = \sqrt {B{F^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{16}}{3}} \right)}^2} + {4^2}} = \frac{{20}}{3}\] (cm).

Ta thấy tam giác BEF và tam giác BHF có chung đường cao hạ từ điểm F.

Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta BHF}}}}{{{S_{\Delta BEF}}}} = \frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{12}}{5}:\frac{{20}}{3} = \frac{9}{{25}}\).

Vậy \({S_{\Delta BHF}} = \frac{9}{{25}}.{S_{\Delta BEF}} = \frac{9}{{25}}.\frac{{32}}{3} = \frac{{96}}{{25}}\) (cm2).

Anh Hoang

Anh Hoang

"chung đường cao hạ từ điểm F " em vẫn ko hiểu đoạn này ạ

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD có góc A = 120 độ. Tia phân giác của góc D qua (ảnh 1)

a) Hình bình hành ABCD có \(\widehat {BAD},\,\widehat {ADC}\) ở vị trí trong cùng phía.

Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 60^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ADI} = \widehat {IDC} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = 30^\circ \) (do DI là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).

\(\widehat {AID} = \widehat {IDC}\) (cặp góc so le trong).

Vì vậy \(\widehat {AID} = \widehat {ADI}\).

Suy ra tam giác ADI cân tại A.

Do đó AD = AI.

Mà AB = 2AI (I là trung điểm của AB).

Vậy AB = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Gọi J là trung điểm của DI.

Tam giác ADI có AJ là đường trung tuyến.

Suy ra AJ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác ADI.

Khi đó \(\widehat {JAI} = \widehat {DAJ} = \frac{{\widehat {DAI}}}{2} = 60^\circ \).

Xét ∆AJD và ∆DHA, có:

\(\widehat {AJD} = \widehat {DHA} = 90^\circ \);

AD là cạnh chung;

\(\widehat {DAJ} = \widehat {ADH} = 60^\circ \).

Do đó ∆AJD = ∆DHA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra DJ = AH (cặp cạnh tương ứng).

Mà DI = 2DJ (J là trung điểm của DI).

Vậy DI = 2AH (điều phải chứng minh).

c) Ta có BI = BC \(\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\).

Suy ra tam giác IBC cân tại B.

\(\widehat {IBC} = \widehat {ADC} = 60^\circ \).

Do đó tam giác IBC đều.

Vì vậy IC = IB = IA.

Khi đó tam giác ABC vuông tại C hay \(\widehat {ACB} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \).

Vậy AD AC (điều phải chứng minh).

Lời giải

Ta có \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).

\( \Rightarrow \sin a = \pm \frac{3}{5}\).

Vì 0° < a < 90° nên sina > 0.

Do đó \(\sin a = \frac{3}{5}\).

Ta có \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{3}{5}:\frac{4}{5} = \frac{3}{4}\).

Ta có \(\cot a = \frac{1}{{\tan a}} = \frac{4}{3}\).

Vậy \(\sin a = \frac{3}{5}\); \(\tan a = \frac{3}{4}\)\(\cot a = \frac{4}{3}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay