Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(−1; 2; 3), B(3; 0; −1), C(1; 4; 7). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là G(1; 2; 3).

Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

\( = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)

\( = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)\)

MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất (do GA² + GB² + GC² không đổi)

⇔ M là hình chiếu của G trên (P)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; - 2;2} \right).\)

GM vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình của GM là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right..\)

Tọa độ của điểm M(1 + t; 2 – 2t; 3 + 2t) thỏa mãn:

(1 + t) – 2(2 – 2t) + 2(3 + 2t) + 6 = 0 ⇔ \(t = - \frac{{11}}{9}.\)

⇒ \(M\left( { - \frac{2}{9};\frac{{40}}{9};\frac{5}{9}} \right).\)

Vậy \(M\left( { - \frac{2}{9};\frac{{40}}{9};\frac{5}{9}} \right)\) thì MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất.