Câu hỏi:
11/07/2024 2,668Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(−1; 2; 3), B(3; 0; −1), C(1; 4; 7). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là G(1; 2; 3).
Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)
\( = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)
\( = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)
\( = 3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)\)
MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất (do GA2 + GB2 + GC2 không đổi)
⇔ M là hình chiếu của G trên (P)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; - 2;2} \right).\)
GM vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình của GM là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right..\)
Tọa độ của điểm M(1 + t; 2 – 2t; 3 + 2t) thỏa mãn:
(1 + t) – 2(2 – 2t) + 2(3 + 2t) + 6 = 0 ⇔ \(t = - \frac{{11}}{9}.\)
⇒ \(M\left( { - \frac{2}{9};\frac{{40}}{9};\frac{5}{9}} \right).\)
Vậy \(M\left( { - \frac{2}{9};\frac{{40}}{9};\frac{5}{9}} \right)\) thì MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Vì Ax ⊥ AC ⇒ AM ⊥ AC
mà BM // AC
⇒ AM ⊥ BM
Chứng minh tương tự ⇒ AQ // BM và BM // AQ (cmt)
Suy ra AMBQ là hình bình hành.
Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {MBQ} = \widehat {ABQ} = \widehat {MAQ} = {90^o}\).
Vậy AMBQ là hình chữ nhật.
b) BQ ⊥ AC (cmt) mà \(BQ \cap AI = H\)
Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó: CH ⊥ AB
c) AMBQ là hình chữ nhật mà \(AB \cap QM = P\)
⇒ P là trung điểm AB và P là trung điểm QM
\(\Delta ABI\) vuông tại I có đường trung tuyến IP
⇒ \(IP = \frac{1}{2}AB\)
⇒ IP = PQ
⇒ \(\Delta IPQ\) cân tại P.
Lời giải
Ta có: sin2a + cos2a = 1
⇒ cos2a = 1 – sin2a
⇒ cos2a = \(1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2}\)
\( = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\cos ^2}a = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\\{\cos ^2}a = {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \cos a = \frac{{ \pm 3}}{5}\)
Mà a là góc tù nên cosa < 0
\( \Rightarrow \cos a = - \frac{3}{5}\)
\( \Rightarrow A = 2\sin a - \cos a = 2.\frac{4}{5} - \left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)\)
\( = \frac{8}{5} + \frac{3}{5} = \frac{{11}}{5}\)
Vậy \(A = \frac{{11}}{5}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận