Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị lớn nhất của hàm số y = |−x⁴ + 8x² + m| trên đoạn [−1; 3] bằng 2018?

Từ bảng biến thiên hàm số y = f(x) = −x⁴ + 8x² + m ta thấy:

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,\,3} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {7 + m} \right|;\,\,\left| m \right|;\,\,\left| {16 + m} \right|;\,\,\left| { - 9 + m} \right|} \right\} = 2018\]

TH1: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,3} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {7 + m} \right| = 2018 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2011}\\{m = - 2025}\end{array}} \right.\)

m = 2011 ⇒ |16 + m| = 2027 > 2018 (loại)

m = −2025 ⇒ |−9 + m| = 2034 > 2018 (loại)

TH2: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,3} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| m \right| = 2018 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2018}\\{m = - 2018}\end{array}} \right.\) (loại)

TH3: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,3} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {16 + m} \right| = 2018 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2002}\\{m = - 2034}\end{array}} \right.\)

m = 2002 (thỏa mãn)

m = −2034 ⇒ |−9 + m| = 2025 > 2018 (loại)

TH4: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,3} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| { - 9 + m} \right| = 2018 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2027}\\{m = - 2009}\end{array}} \right.\)

m = 2027 ⇒ |m| = 2027 > 2018 (loại)

m = − 2009 ⇒ |m| = 2009 < 2018 (thỏa mãn)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề bài.