Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. Từ H kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC (E ∈ AB; F ∈ AC).

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH, M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

a) Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Vì HE ⊥ AB, HF ⊥ AC nên \(\widehat {HEA} = 90^\circ ,\widehat {HFA} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác AEHF có: \(\widehat {EAF} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = 90^\circ .\)

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Vì AEHF là hình chữ nhật ⇒ EH // AF và EH = AF (tính chất hình chữ nhật)

Vì D là tâm đối xứng của A qua F nên F là trung điểm của AD ⇒ AF = FD.

⇒ EH // FD và EH = FD.

⇒ DHEF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Vì I là giao điểm của EF và AH nên ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Gọi O là giao điểm của EF và AM.

Vì AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên AM = MC ⇒ \(\Delta AMC\) cân tại M

⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\)

Vì AEHF là hình chữ nhật có I là giao điểm 2 đường chéo ⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {IFA}\)

Xét \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {IAF} + \widehat {MCA} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {IAF} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OFA} + \widehat {OAF} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta OAF\) có: \[\widehat {OFA} + \widehat {OAF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AOF} = 90^\circ \]

⇒ EF ⊥ AM tại O hay IF ⊥ AM tại O.

Xét \(\Delta KAM\) có: GM ⊥ KA; AH ⊥ KM.

Mà I là giao điểm của AH và GM nên I là trực tâm của \(\Delta KAM.\)

Suy ra KI ⊥ AM mà IF ⊥ AM.

Do đó K, I, F thẳng hàng.

Ta có:

• Ba điểm E, I, F thẳng hàng.

• Ba điểm K, I, F thẳng hàng.

Do đó bốn điểm I, K, E, F thẳng hàng.