Câu hỏi:
05/07/2023 1,097
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F.
a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông.
c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF.
d) Tìm vị trí điểm E trên tia Ax sao cho \({S_{\Delta AMB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta EOF}}\).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F.
a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông.
c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF.
d) Tìm vị trí điểm E trên tia Ax sao cho \({S_{\Delta AMB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta EOF}}\).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ∆AOE và ∆MOE, có:
AO = MO = R;
AE = ME (giả thiết);
OE chung.
Do đó ∆AOE = ∆MOE (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \).
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Ta có MF, BF là hai tiếp tuyến của (O).
Suy ra OF là tia phân giác của \(\widehat {MOB}\).
Do đó \(\widehat {MOF} = \widehat {BOF} = \frac{1}{2}\widehat {MOB}\).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AOE} = \widehat {EOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\).
Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (kề bù).
\( \Rightarrow 2\widehat {EOM} + 2\widehat {MOF} = 180^\circ \).
\( \Rightarrow 2\left( {\widehat {EOM} + \widehat {MOF}} \right) = 180^\circ \).
\( \Rightarrow \widehat {EOF} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).
Vậy tam giác EOF vuông tại O.
c) Ta có EA = EM (giả thiết) và OM = OA (= R).
Suy ra OE là đường trung trực của đoạn AM.
Do đó OE ⊥ AM.
Mà MA ⊥ MB (\(\widehat {AMB} = 90^\circ \) do \(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Vì vậy OE // MB.
Suy ra \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\) (so le trong).
Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\) (do tam giác OMB cân tại O).
Do đó \(\widehat {MOE} = \widehat {ABM}\).
Mà \(\widehat {EMO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \).
Vì vậy (g.g).
Suy ra \(\frac{{EM}}{{AM}} = \frac{{OE}}{{AB}}\).
Do đó EM.AB = AM.OE (1)
Chứng minh tương tự, ta được FM.AB = BM.OF (2)
Từ (1), (2), suy ra AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) Kẻ MH ⊥ AB tại H.
Ta có \(\widehat {MBA} = \widehat {OFB}\) (cùng phụ với \(\widehat {FOB}\)).
Mà \(\widehat {OFM} = \widehat {OFB}\) (do FO là tia phân giác của \(\widehat {MFB}\)).
Suy ra \(\widehat {MBA} = \widehat {OFE}\).
Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {OEF} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{EOF}}}} = {\left( {\frac{{MH}}{{OM}}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Khi đó \(\frac{{MH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vì vậy \(\sin \widehat {MOH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {MOH} = 60^\circ \).
Do đó \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE} = 30^\circ \).
Ta có \(AE = OA.\tan \widehat {AOE} = OA.\tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}OA\).
Vậy E nằm trên tia Ax sao cho \(AE = \frac{{\sqrt 3 }}{3}OA\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x2 – 2(m + 1)x – 3 đồng biến trên khoảng (4; 2018)?
Xem đáp án »
13/07/2024
69,923
Câu 2:
Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.
Xem đáp án »
13/07/2024
34,705
Câu 3:
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
Xem đáp án »
13/07/2024
30,932
Câu 4:
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
Xem đáp án »
13/07/2024
10,176
Câu 7:
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \) và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \).
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \) và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \).
Xem đáp án »
12/07/2024
6,105
về câu hỏi!