Câu hỏi:
05/07/2023 1,386Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC. Lấy A thuộc (O) sao cho AB < AC, vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh rằng: MA2 = MB.MC.
c) Kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) và HF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh AM // EF.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: AH.BC = AB.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Xét ∆MAB và ∆MCA, có:
\(\widehat {AMB}\) chung;
\(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).
Vậy MA2 = MB.MC (điều phải chứng minh).
c) Tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao:
AH2 = AE.AB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Chứng minh tương tự, ta được AH2 = AF.AC.
Khi đó ta có AE.AB = AF.AC.
Xét ∆AEF và ∆ACB, có:
\(\widehat {FAE}\) chung;
\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\) (AE.AB = AF.AC).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\) (cặp góc tương ứng) (1)
Ta có tam giác AOC cân tại O (do OA = OC = R).
Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (2)
Lại có \(\widehat {OCA} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra \(\widehat {OAC} + \widehat {AFE} = 90^\circ \).
Khi đó AO ⊥ EF.
Mà AM ⊥ AO (do AM là tiếp tuyến của (O)).
Vậy AM // EF.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Đã bán 1,5k
Đã bán 1,4k
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
Câu 6:
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
Câu 7:
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \) và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \).
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận