Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC. Lấy A thuộc (O) sao cho AB < AC, vẽ đường cao AH của tam giác ABC.

a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.

b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh rằng: MA² = MB.MC.

c) Kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) và HF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh AM // EF.

Lời giải

a) Ta có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: AH.BC = AB.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Xét ∆MAB và ∆MCA, có:

\(\widehat {AMB}\) chung;

\(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).

Vậy MA² = MB.MC (điều phải chứng minh).

c) Tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao:

AH² = AE.AB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Chứng minh tương tự, ta được AH² = AF.AC.

Khi đó ta có AE.AB = AF.AC.

Xét ∆AEF và ∆ACB, có:

\(\widehat {FAE}\) chung;

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\) (AE.AB = AF.AC).

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\) (cặp góc tương ứng)     (1)

Ta có tam giác AOC cân tại O (do OA = OC = R).

Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)      (2)

Lại có \(\widehat {OCA} + \widehat {ABC} = 90^\circ \)      (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra \(\widehat {OAC} + \widehat {AFE} = 90^\circ \).

Khi đó AO ⊥ EF.

Mà AM ⊥ AO (do AM là tiếp tuyến của (O)).

Vậy AM // EF.