Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại I cắt AC tại E.

a) Chứng minh BI.BE = 2BH.BM.

b) Chứng minh \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).

Lời giải

Hàm số đã cho có a = 1 > 0 và \(\frac{{ - b}}{{2a}} = m + 1\) nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (m + 1; +∞).

Do đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (4; 2018) thì (4; 2018) ⊂ (m + 1; +∞).

⇔ m + 1 ≤ 4 ⇔ m ≤ 3.

Mà m là số nguyên dương.

Suy ra m ∈ {1; 2; 3}.

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Gọi x là số ha đất trồng ngô, y là số ha đất trồng đậu xanh.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

⦁ Hiển nhiên x ≥ 0, y ≥ 0.

⦁ Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có x + y ≤ 8.

⦁ Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên 20x + 30y ≤ 180.

⇔ 2x + 3y ≤ 18.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm (x; y) thỏa (*) để F(x; y) = 40x + 50y đạt giá trị lớn nhất.

Vẽ và xác định miền nghiệm của (*):

Ta có:

⦁ Miền nghiệm của (*) là tứ giác OABC (kể cả biên).

⦁ O(0; 0), A(0; 6), B(6; 2), C(8; 0).

⦁ F(O) = 0, F(A) = 300, F(B) = 340, F(C) = 320.

Suy ra maxF(x; y) = F(B) = 340 khi và chỉ khi x = 6, y = 2.

Vậy để thu được nhiều tiền nhất thì bác Năm cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.