Câu hỏi:
13/07/2024 5,707Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại I cắt AC tại E.
a) Chứng minh BI.BE = 2BH.BM.
b) Chứng minh \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có M là trung điểm BC. Suy ra BC = 2BM.
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: AB2 = BH.BC = 2BH.BM (1)
Tam giác ABE vuông tại A có AI là đường cao: AB2 = BI.BE (2)
Từ (1), (2), ta được BI.BE = 2BH.BM.
b) Từ (1), ta có \(BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}}\).
Suy ra \(\frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{A{B^4}}}\).
Từ (2), ta có \(BE = \frac{{A{B^2}}}{{BI}}\).
Suy ra \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{A{B^4}}}\).
Xét ∆BMI và ∆AMH, có:
\(\widehat {AMB}\) chung;
\(\widehat {BIM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BI}}{{AH}} = \frac{{BM}}{{AM}}\).
Mà AM = BM (tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến).
Do đó BI = AH.
Ta có \(\frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{A{B^4}}} + \frac{{B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{B{I^2} + B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{1}{{A{B^2}}}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
Câu 3:
Câu 5:
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
về câu hỏi!