Cho hàm số f(x) = x².

• Với x ∈ ℝ, hãy so sánh f(‒x) và f(x).

• Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số f(x) = x² (Hình 19) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào.

a) Xét hàm số f(x) = y = sinx cosx có tập xác định D = ℝ:

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = sin(‒x) . cos(‒x) = ‒sinx cosx = ‒f(x).

Do đó hàm số y = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Xét hàm số f(x) = y = tanx + cotx có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\):

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = tan(‒x) + cot(‒x) = (‒tanx) + (‒cotx) = ‒(tanx + cotx) = ‒f(x).

Do đó hàm số y = tanx + cotx là hàm số lẻ.

c) Xét hàm số f(x) = y = sin²x có tập xác định D = ℝ:

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = sin²(‒x) = (‒sinx)² = sin²x = f(x).

Do đó hàm số y = sin²x là hàm số chẵn.

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right);\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} - 2\pi ;\frac{\pi }{2} - 2\pi } \right)\);

            \[\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} + 2\pi ;\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right)\];

             …

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) với k ∈ ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right);\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \[\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} - 2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} - 2\pi } \right)\];

             …

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\) với k ∈ ℤ.