Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm A(2; 0) và song song với đường thẳng y = 2x ‒ 5. Sau đó vẽ đường thẳng tìm được trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải

a) Do đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) nên thay x = 1, y = 1 vào y = mx ‒ (2m + 2) ta có:

1 = m.1 ‒ (2m + 2)

Do đó 1 = m – 2m – 2

Suy ra m = –3.

Vậy với m = ‒3 thì đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1).

b) Với m = ‒3, ta có đường thẳng d: y = ‒3x + 4.

Suy ra hệ số góc của đường thẳng d là a = –3 < 0. Vậy góc β là góc tù.

c) Để d và d’ cắt nhau thì m ≠ 3 ‒ 2m hay 3m ≠ 3

Suy ra m ≠ 1.

Vậy với \(m \ne 0,m \ne \frac{3}{2},m \ne 1\) thì d và d’ cắt nhau.

Lời giải

a) Với y = 0 ta có: 0 = (m ‒ 2)x + 2, suy ra (m – 2)x = –2

Do đó \(x = \frac{{ - 2}}{{m - 2}}\), ta được điểm \(A\left( {\frac{{ - 2}}{{m - 2}};0} \right)\) là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox.

Khi đó \(OA = \left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|\)

Với x = 0 thì y = 2, ta được điểm B(0; 2) là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy. Khi đó OB = 2.

Do A nằm trên Ox và B nằm trên Oy nên tam giác OAB là tam giác vuông tại O.

Do đó \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|.2 = \left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|\) (đơn vị diện tích)

Mà theo bài, diện tích của tam giác OAB bằng 2 nên \(\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right| = 2\)

Suy ra \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = 2\) hoặc \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = - 2\).

• Với \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = 2\) ta có 2m – 4 = –2 hay 2m = 2, suy ra m = 1 (thỏa mãn);

• Với \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = - 2\) ta có –2m + 4 = –2 hay 2m = 6, suy ra m = 3 (thỏa mãn);

Vậy m ∈ {1; 3} thì đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 .

b) Từ câu a, ta có đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0; 2) với mọi giá trị của m.

Vậy khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0; 2) cố định.