Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Vì sao?

a) Nếu độ dài trung đoạn của một hình chóp tứ giác đều tăng lên n lần (n > 1) và độ dài cạnh đáy không đổi thì diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên n lần.

b) Nếu độ dài cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều tăng lên n lần (n > 1) và chiều cao không đổi thì thể tích của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên n lần.

Lời giải

Gọi độ dài cạnh đáy, độ dài trung đoạn, chiều cao ban đầu của một hình chóp tứ giác đều lần lượt là a, h, d (cùng đơn vị đo, a, h ,d > 0).

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ban đầu là:

\(\frac{1}{2}.4a.d = 2ad\) (đơn vị diện tích).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều mới là:

\(\frac{1}{2}.4a.nd = n.2ad\) (đơn vị diện tích).

Do đó, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều mới gấp n lần diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ban đầu.

Vậy phát biểu a là đúng.

b) Thể tích của hình chóp tứ giác đều ban đầu là:

\(\frac{1}{3}.a.a.h = \frac{1}{3}{a^2}h\) (đơn vị thể tích).

Thể tích của hình chóp tứ giác đều mới là:

\(\frac{1}{3}.na.na.h = {n^2}.\frac{1}{3}{a^2}h\) (đơn vị thể tích).

Do đó, thể tích của hình chóp tứ giác đều mới gấp n² lần thể tích của hình chóp tứ giác đều ban đầu.

Vậy phát biểu b là sai.