Giả sử Đ_O là phép đối xứng tâm O. Lấy hai điểm tùy ý A, B sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua Đ_O. So sánh tam giác OAB và tam giác O’A’B’ rồi so sánh A’B’ và AB.

Đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 5 = 0 có tâm I(2; 0), bán kính $R=\sqrt{2^2+0^2-\left(-5\right)}=3$.

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O.

Suy ra đường tròn (C’) có tâm là ảnh của I(2; 0) và bán kính R’ = R = 3.

Gọi I’ = ĐO(I), suy ra O là trung điểm II’ với I(2; 0).

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{I^{\text{'}}}=2x_O-x_I=2.0-2=-2\\ y_{I^{\text{'}}}=2y_O-y_I=2.0-0=0\end{array}\right.$

Vì vậy tọa độ I’(–2; 0).

Vậy đường tròn (C’) có tâm I’(–2; 0) và bán kính R’ = 3 có phương trình là:

(x + 2)2 + y2 = 9.

a) Gọi M’ là ảnh của M qua ĐO.

Suy ra O là trung điểm của MM’ với M(3; –4).

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2x_O-x_M=2.0-3=-3\\ y_{M^{\text{'}}}=2y_O-y_M=2.0+4=4\end{array}\right.$

Vậy M’(–3; 4).

b) • Chọn A(0; 2) ∈ d: x – 3y + 6 = 0.

Gọi A’ là ảnh của A qua ĐO.

Suy ra O là trung điểm của AA’ với A(0; 2)

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=2x_O-x_A=2.0-0=0\\ y_{A^{\text{'}}}=2y_O-y_A=2.0-2=-2\end{array}\right.$

Vì vậy A’(0; –2).

• Đường thẳng d: x – 3y + 6 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua ĐO.

Suy ra d’ song song hoặc trùng với d, nên d’ nhận vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(0; –2) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x – 0) – 3(y + 2) = 0 hay x – 3y – 6 = 0.

c) Đường tròn (C): (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 có tâm I(–2; 1), bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua ĐO nên (C’) có tâm là ảnh của I(–2; 1) và có bán kính R’ = R = 2.

Gọi I’ = ĐO(I).

Suy ra O là trung điểm II’.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{I^{\text{'}}}=2x_O-x_I=2.0+2=2\\ y_{I^{\text{'}}}=2y_O-y_I=2.0-1=-1\end{array}\right.$

Vì vậy tọa độ I’(2; –1).

Vậy đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ĐO, có tâm I’(2; –1) và R’ = 2 nên có phương trình là:

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 4.