Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 4. Phép đối xứng tâm có đáp án

⦁ Cả 4 hình đều có tâm đối xứng là điểm O như hình vẽ dưới đây:

⦁ Ta xét hình bông tuyết:

Lấy điểm B trùng O. Khi đó qua O, điểm đối xứng với B là chính nó.

Lấy điểm A bất kì trên hình bông tuyết sao cho A ≠ O.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ sao cho O là trung điểm của đoạn AA’.

Tương tự như vậy, mỗi điểm M bất kì khác O trên hình bông tuyết, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho O là trung điểm của đoạn MM’.

Vì vậy phép biến hình biến hình bông tuyết thành chính nó là phép biến hình biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn MM’.

Chứng minh tương tự với hình 8 chiếc lá, hình bình hành và hình bông hoa, ta cũng được kết quả như trên.

Theo đề, ta có M’ = f(M).

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

⦁ Ta có M’ = ĐI(M).

Suy ra I(1; 1) là trung điểm MM’ với M(2; 2).

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2x_I-x_M=2.1-2=0\\ y_{M^{\text{'}}}=2y_I-y_M=2.1-2=0\end{array}\right.$

Suy ra M’ có tọa độ là (0; 0).

⦁ Ta có N’ = ĐI(N).

Suy ra I(1; 1) là trung điểm của NN’ với N(0; –3).

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{N^{\text{'}}}=2x_I-x_N=2.1-0=2\\ y_{N^{\text{'}}}=2y_I-y_N=2.1+3=5\end{array}\right.$

Suy ra N’ có tọa độ là N’(2; 5).

⦁ Ta có P’ = ĐI(P).

Suy ra I(1; 1) là trung điểm PP’ với P(–1; –2).

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{P^{\text{'}}}=2x_I-x_P=2.1+1=3\\ y_{P^{\text{'}}}=2y_I-y_P=2.1+2=4\end{array}\right.$

Suy ra P’ có tọa độ là P’(3; 4).

Vậy M’(0; 0), N’(2; 5), P’(3; 4).

⦁ Ta xét hình màu đỏ:

Giả sử ta chọn điểm O trên hình màu đỏ như hình vẽ.

Lấy điểm B trùng O. Khi đó qua O, điểm đối xứng với B là chính nó.

Lấy điểm A bất kì trên hình màu đỏ sao cho A ≠ O.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ sao cho O là trung điểm của đoạn AA’.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì khác O trên hình màu đỏ, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho O là trung điểm của đoạn MM’.

Vậy phép đối xứng tâm O biến hình màu đỏ thành chính nó.

⦁ Ta xét hình màu xanh lá:

Giả sử ta chọn điểm I trên hình màu xanh lá như hình vẽ.

Lấy điểm F trùng I. Khi đó qua I, điểm đối xứng với F là chính nó.

Lấy điểm E bất kì trên hình màu xanh lá sao cho E ≠ I.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm E’ sao cho I là trung điểm của đoạn EE’.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì khác I trên hình màu xanh lá, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho I là trung điểm của đoạn MM’.

Vậy phép đối xứng tâm I biến hình màu xanh lá thành chính nó.

⦁ Ta xét hình màu xanh biển:

Giả sử ta chọn điểm H trên hình màu xanh biển như hình vẽ.

Lấy điểm P trùng H. Khi đó qua H, điểm đối xứng với P là chính nó.

Lấy điểm P bất kì trên hình màu xanh biển sao cho P ≠ H.

Khi đó ta luôn xác định được một điểm P’ sao cho H là trung điểm của đoạn PP’.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì khác H trên hình màu xanh biển, ta đều xác định được một điểm M’ trên hình sao cho H là trung điểm của đoạn MM’.

Vậy phép đối xứng tâm H biến hình màu xanh biển thành chính nó.

a) Gọi M’ là ảnh của M qua ĐO.

Suy ra O là trung điểm của MM’ với M(3; –4).

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{M^{\text{'}}}=2x_O-x_M=2.0-3=-3\\ y_{M^{\text{'}}}=2y_O-y_M=2.0+4=4\end{array}\right.$

Vậy M’(–3; 4).

b) • Chọn A(0; 2) ∈ d: x – 3y + 6 = 0.

Gọi A’ là ảnh của A qua ĐO.

Suy ra O là trung điểm của AA’ với A(0; 2)

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=2x_O-x_A=2.0-0=0\\ y_{A^{\text{'}}}=2y_O-y_A=2.0-2=-2\end{array}\right.$

Vì vậy A’(0; –2).

• Đường thẳng d: x – 3y + 6 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua ĐO.

Suy ra d’ song song hoặc trùng với d, nên d’ nhận vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(0; –2) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x – 0) – 3(y + 2) = 0 hay x – 3y – 6 = 0.

c) Đường tròn (C): (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 có tâm I(–2; 1), bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua ĐO nên (C’) có tâm là ảnh của I(–2; 1) và có bán kính R’ = R = 2.

Gọi I’ = ĐO(I).

Suy ra O là trung điểm II’.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{I^{\text{'}}}=2x_O-x_I=2.0+2=2\\ y_{I^{\text{'}}}=2y_O-y_I=2.0-1=-1\end{array}\right.$

Vì vậy tọa độ I’(2; –1).

Vậy đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ĐO, có tâm I’(2; –1) và R’ = 2 nên có phương trình là:

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 4.