Giải các phương trình sau:

a) 3^x + 4^x = 5^x

b) 2^x+1 – 4^x = x – 1.

Lời giải

a) Chia hai vế của phương trình cho 5^x ta có:

\({\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1\)

Xét \(f\left( {\rm{x}} \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\)

Ta có:

\(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\forall x\)

Do đó f(x) đồng biến trên R

Mặt khác:

f(2) = 1

Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhât của phương trình

b) Ta có: 2^x+1 – 4^x = x – 1

⇔ 2^x . 2 – 2^2x = x – 1

⇔ 2^x (2 – 2^x) = x – 1                            (*)

+) Với x = 1 thì phương trình (*) ⇔ 2¹ (2 – 2¹) = 0

Suy ra x = 1 là nghiệm của phươn trình

+) Với x > 1 thì 2 < 2^x và x – 1 > 0

Do đó 2^x (2 – 2^x) < 0 < x – 1

Khi đó phương trình (*) vô nghiệm

+) Với x < 1 thì 2 > 2^x và x – 1 < 0

Do đó 2^x (2 – 2^x) > 0 > x – 1

Khi đó phương trình (*) vô nghiệm