Tìm m để bất phương trình 2x² – (2m + 1)x – 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Đặt f(x) = 2x² – (2m + 1)x – 2m + 2

Ta có ∆ = (2m + 1)² – 4 . 2 . (2 – 2m) = 4m² + 4m + 1 – 16 + 16m = 4m² + 20m – 15

+) TH1: \(\Delta \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{{5 - \sqrt {10} }}{2}}\\{m \ge \frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Suy ra f(x) ≥ 0 với mọi x (loại)

+) TH2: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{{5 - \sqrt {10} }}{2};\frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\)

Khi đó f(x) có hai nghiệm

\({x_1} = \frac{{2m + 1 - \sqrt \Delta }}{4},{x_2} = \frac{{2m + 1 + \sqrt \Delta }}{4}\left( {{{\rm{x}}_1} < {{\rm{x}}_2}} \right)\)

Và f(x) ≤ 0 khi x₁ ≤ x ≤ x₂

Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} \le \frac{1}{2}}\\{{x_2} \ge 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 1 \le 2\sqrt {\rm{\Delta }} }\\{7 - 2m \le \sqrt {\rm{\Delta }} }\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(2m - 1)}^2} \le 4{\rm{\Delta }}}\\{{{(7 - 2m)}^2} \le {\rm{\Delta }}}\\{\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20{m^2} - 84m + 61 \le 0}\\{{m^2} - 6m + 8 \le 0}\\{\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)

\(\; \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\)

Vậy ta chọn đáp án A.