Cho các điểm A(2; 3), B(9; 4), M(5; y) và P(x; 2).

a) Tìm y để tam giác AMB vuông tại M;

b) Tìm x để ba điểm A, B và P thẳng hàng.

Lời giải

a) \(\overrightarrow {{\rm{AM}}} = (3;{\rm{y}} - 3);\overrightarrow {{\rm{MB}}} = (4;4 - {\rm{y}})\)

AMB vuông tại \({\rm{M}}\)

\( \Leftrightarrow \widehat {{\rm{AMB}}} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{AM}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot 4 + ({\rm{y}} - 3) \cdot (4 - {\rm{y}}) = 0\)

\( \Leftrightarrow 12 + 4{\rm{y}} - {{\rm{y}}^2} - 12 + 3{\rm{y}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 7{\rm{y}} - {{\rm{y}}^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{y = 7}\end{array}} \right.\)

Vậy với M(5; 7) hoặc M(5; 0) thì tam giác ABM vuông tại M.

b) \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} = (7;1),\overrightarrow {{\rm{AP}}} = ({\rm{x}} - 2, - 1)\)

\({\rm{A}},{\rm{P}},{\rm{B}}\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{AP}}} \) và \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{AP}}} = {\rm{k}} \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} - 2 = {\rm{k}} \cdot 7}\\{ - 1 = {\rm{k}} \cdot 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{k}} = - 1}\\{{\rm{x}} - 2 = - 7}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{k}} = - 1}\\{{\rm{x}} = - 5}\end{array}} \right.\)

Vậy P(–5; 2).