Chứng minh bất đẳng thức: \[{\rm{cosx > 1}} - \frac{{{x^2}}}{2}\] với mọi x ≠ 0.

Lời giải

Hàm số \[{\rm{g}}\left( x \right){\rm{ = cosx + }}\frac{{{x^2}}}{2} - 1\] liên tục trên [0; +∞) có đạo hàm g’(x) = x – sinx

Ta có g’(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g(x) đồng biến trên [0; +∞)

Khi đó ta có

g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0

Hay \[{\rm{cosx + }}\frac{{{x^2}}}{2} - 1 > 0\] với mọi x > 0

⇔ \[{\rm{cosx > 1}} - \frac{{{x^2}}}{2}\] với mọi x > 0                                         (1)

Với mọi x < 0 thì – x > 0 nên theo (1) ta có

\(\cos ( - x) > 1 - \frac{{{{( - x)}^2}}}{2} \Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x < 0

Vậy \[{\rm{cosx > 1}} - \frac{{{x^2}}}{2}\] với mọi x ≠ 0.