Chứng minh định lí sau: Nếu trong tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 30°.

Lời giải

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AC = AD

Xét ∆ABC và ∆ABD có

AC = AD

\(\widehat {BAC} = \widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \)

AB là cạnh chung

Suy ra ∆ABC = ∆ABD (c.g.c)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}}\) (hai góc tương ứng), BC = BD (hai cạnh tương ứng)

Ta có \(AC = \frac{1}{2}BC\) (giả thiết)

AC = AD

Suy ra \(A{\rm{D}} = \frac{1}{2}BC\)

Do đó AC + AD = BC

Hay CD = BC

Mà BC = BD

Suy ra BC = BD = CD

Do đó tam giác BCD đều

Suy ra \(\widehat {DBC} = 60^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {CB{\rm{D}}}\), \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Vậy nếu trong tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 30°.