Tìm a để hệ phương trình sau vô nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 7{\rm{x}} - 8 \le 0\\{a^2}x + 1 > 3 + \left( {3{\rm{a}} - 2} \right)x\end{array} \right.\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 7x - 8 \le 0}\\{{a^2}x + 1 > 3 + (3a - 2)x}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 7x - 8 \le 0}\\{\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)x > 2}\end{array}} \right.\)

Ta đặt  \({x^2} + 7x - 8 \le 0\,\,\,\left( a \right)\); \(\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)x > 2\,\,\,\left( b \right)\)

Hệ (1) vô nghiệm khi và chỉ khi T(a) ∩ T(b) = ∅

Ta có x² + 7x – 8 ≤ 0

⇔ (x + 8)(x – 1) ≤ 0

⇔ –8 ≤ x ≤ 1

Suy ra T(a) = [–8; 1]

Đặt a² – 3a + 2 = m

+) Nếu m = 0 thì a² – 3a + 2 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\)

Khi đó 0 . x > 2

Suy ra T(b) = ∅

Do đó hệ (1) vô nghiệm

+) Nếu m > 0 thì a² – 3a + 2 > 0

Suy ra a ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞)

Khi đó mx > 2

\( \Leftrightarrow x > \frac{2}{m}\)

Ta có:

T(a) ∩ T(b) = ∅

\( \Leftrightarrow \frac{2}{m} \ge 1\)

⇔ 2 ≥ m = a² – 3a + 2

⇔ a² – 3a ≤ 0

⇔ 0 ≤ a ≤ 3

Kết hợp điều kiện a ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) ta được \(\left[ \begin{array}{l}0 \le a < 1\\2 < a \le 3\end{array} \right.\)

+) Nếu m < 0 thì a² – 3a + 2 < 0

Suy ra a ∈ (1; 2)

Khi đó mx < 2

\( \Leftrightarrow x < \frac{2}{m}\)

Ta có:

T(a) ∩ T(b) = ∅

\( \Leftrightarrow \frac{2}{m} \le - 8\)

⇔ 2 ≥ –8m = –8(a² – 3a + 2)

⇔ 4a² – 12a + 9 ≥ 0

⇔ (2a – 3)² ≥ 0 (luôn đúng)

Suy ra a ∈ (1; 2) thì hệ (1) vô nghiệm

Vậy 0 ≤ a ≤ 3.