Câu hỏi:

12/07/2024 390

Cho A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C. Từ điểm A, vẽ hai tiếp tuyến AM; AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN.

a) Chứng minh AM² = AN² = AB.AC.

b) ME cắt (O) tại I. Chứng minh IN // AB.

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên 1 đường thẳng cố định khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B và C.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau

Nên AM = AN

Lại có: ABC là cát tuyến của (O)

Nên AM² = AN² = AB.AC

b) Dễ thấy OA vuông góc với MN tại trung điểm MN

⇒ OA vuông góc với MN tại F

Ta có \(\widehat {OMA} = \widehat {ONA} = \widehat {OEA} = \) 90°.

⇒ M, N, E đều thuộc đường tròn đường kính OA

⇒ EMAB nội tiếp

⇒ \(\widehat {EMN} = \widehat {EAN}\)(1)

Gọi Nt là tia đối của tia AN

Ta có (vì Nt là tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2)

⇒ \(\widehat {EAN} = \widehat {INt}\)

⇒ IN//AE hay IN//AB

c) Gọi K là giao điểm của BC với MN

Ta có tứ giác OFKE nội tiếp trong đường tròn đường kính OK

Xét ∆AOE và ∆AFK có:

Chung \(\widehat A\)

\(\widehat {AFK} = \widehat {AEO} = 90^\circ \)

⇒ ∆AOE ∽ ∆AKF (g.g)

⇒ \(\frac{{AO}}{{AK}} = \frac{{AE}}{{AF}}\)

Suy ra: AK.AE = AF.AO

Mà AF.AO = AM² = AB.AC

Suy ra: AK.AE = AB.AC không đổi

Vì AK không đổi nên K cố định

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF là trung điểm của OK cố định.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên 1 chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng mình hoặc ngồi cạnh 1 người phụ nữ khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn?

Xem đáp án

Lời giải

Trường hợp 1: Xếp 4 người vợ ngồi cạnh nhau có 4! cách

+) Xếp 4 người chồng ngồi cạnh nhau VVVVCCCC hoặc CCCCVVVV có 2 cách

Vợ chỉ được ngồi cạnh chồng của mình nên, xếp 3 người chồng (không được gạch chân) Có 3! cách xếp

⇒ có 4!.2.3! cách

+) Xếp 3 người chồng ngồi cạnh nhau CVVVVCCC hoặc CCCVVVVC có 2 cách xếp

Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp

⇒ có 4!.2.2 cách

+) Xếp 2 người chồng ngồi cạnh nhau CCVVVVCC có 1 cách

Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp

⇒ có 4!.2

Vậy trường hợp 1 có 4!.2.3! + 4!.2.2 + 4!.2 = 432cách.

Trường hợp 2: Xếp 3 người vợ ngồi cạnh nhau

Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4! cách

+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau: VCCCCVVV hoặc VVVCCCCV có 2 cách

Xếp 2 người chồng không được gạch chân có 2 cách xếp

⇒ có: 4!.2.2 cách

+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau: VCCCVVVC hoặc CVVVCCCV có 2 cách

⇒ có: 4!.2 cách
+ 2 người chồng ngồi cạnh nhau: VCCVVVCC hoặc CCVVVCCVcó 2 cách xếp

⇒ có: 4!.2 cách

Vậy trường hợp này có 4!.2.2 + 4!.2 + 4!.2 = 192

Trường hợp 3: 2 người vợ ngồi cạnh nhau

Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4! cách

+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau VVCCCCVV có 1 cách

Có 2 cách xếp 2 người chồng không có gạch chân

⇒ có: 4!.2

+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau VVCCCVVC hoặc CVVCCCVV có 2 cách

⇒ có: 4!.2

+) 2 người chồng ngồi cạnh nhau CVVCCVVC hoặc VVCCVVCC hoặc CCVVCCVV hoặc VCCVVCCV có 4 cách xếp

⇒ có: 4!.4

Vậy trường hợp 3 có 4!.2 + 4!.2 + 4!.4 = 192 cách

Vậy có tất cả số cách là:

432 + 192 + 192 = 816 cách.

Câu 2

Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là 152m ± 0,2m, điều đó có nghĩa là gì? Tìm sai số tương đối.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi a là chiều dài đúng của cây cầu

Suy ra: a = 152m ± 0,2m

⇒ 152 – 0,2 ≤ a ≤ 152 + 0,2

⇒ 151,8 ≤ a ≤ 152,2

Vậy chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng 151,8m đến 152,2m

Sai số tương đối = 0,2 : 152 . 100% ≈ 0,13%.

Câu 3